Educación interrumpida, educación reconstruida

Por: Andreas Schleicher

Entramos con el director de educación de la OCDE a las aulas del futuro. Más foco en ayudar a los alumnos a pensar por sí mismos y a comprender los límites de la acción individual y colectiva serán algunas claves.

A medida que el mundo está cada vez más interconectado, los riesgos a los que nos enfrentamos también lo están. La pandemia de covid-19 no se ha detenido en las fronteras nacionales y ha afectado a las personas independientemente de su nacionalidad, su nivel educativo, sus ingresos o su sexo. Sin embargo, no sucede lo mismo con las consecuencias, que han sido más graves para los más vulnerables. Esto vale también para la educación. Los estudiantes privilegiados consiguieron sortear rápidamente las puertas cerradas de los centros y encontrar vías hacia oportunidades de aprendizaje alternativas apoyados por sus padres y deseosos de aprender; los de familias desfavorecidas se quedaron fuera cuando las escuelas cerraron.

En cierto sentido, esta crisis ha puesto al descubierto las numerosas deficiencias y desigualdades de nuestros sistemas educativos, desde la banda ancha y los ordenadores necesarios para la educación por Internet hasta la incapacidad de atraer a los profesores más competentes a los grupos de alumnos más problemáticos, pasando por los entornos favorables, imprescindibles para centrar la atención en el aprendizaje. Pero, puesto que en esta época de crisis las desigualdades se amplifican, el momento ofrece también la posibilidad de no instalarse otra vez en el antiguo estado de cosas cuando todo vuelva a la “normalidad”. La naturaleza de nuestras respuestas colectivas y sistémicas a las perturbaciones será lo que determine cómo nos afectarán. Allí donde sea necesario cerrar los centros educativos durante un tiempo, podemos mitigar los efectos del cierre para los estudiantes, las familias y los educadores, en particular para los de los grupos más marginados. Tenemos la posibilidad de colaborar a escala internacional a fin de compartir de manera recíproca los recursos docentes disponibles en Internet y las plataformas digitales de aprendizaje, y animar a las empresas tecnológicas a que se unan a la iniciativa. Asimismo, podemos mejorar rápidamente las oportunidades digitales de aprendizaje de los profesores y fomentar la colaboración de estos más allá de las fronteras. Y lo que quizá sea más importante: está en nuestras manos emplear la energía del momento para adaptar los planes y los entornos docentes a las necesidades del siglo XXI.

Educar a los estudiantes para su futuro, no para nuestro pasado. Vivimos en un mundo en el que lo que es fácil de enseñar y evaluar también se ha convertido en fácil de digitalizar y automatizar. El reto del futuro consiste en armonizar la inteligencia artificial de los ordenadores con las capacidades cognitivas, sociales y emocionales y los valores de los humanos. Nuestra imaginación, nuestra conciencia y nuestro sentido de la responsabilidad serán los que nos ayuden a sacar partido de la tecnología para crear un mundo mejor. Actualmente, el éxito en la educación tiene que ver con la identidad, la capacidad de intervención y las metas. También con el fomento de la curiosidad abriendo las mentes y de la compasión abriendo los corazones, así como con el valor y con la movilización de nuestros recursos cognitivos, sociales y emocionales para actuar. Estas serán, al mismo tiempo, nuestras mejores armas contra las principales amenazas de nuestra época: la ignorancia, la mentalidad cerrada, el odio, la dureza de corazón y el miedo, enemigo de la acción.

Para ir por delante de los avances tecnológicos hay que perfeccionar nuestras cualidades

En nuestra época, los algoritmos que hay detrás de las redes sociales nos clasifican en grupos de individuos afines, creando burbujas virtuales que a menudo amplifican nuestra manera de pensar, pero nos aíslan de las perspectivas que difieren de las nuestras, homogeneizando opiniones y polarizando nuestras sociedades. En consecuencia, las escuelas del futuro tendrán que ayudar a los estudiantes a pensar por sí mismos y a sumarse a los demás con empatía en el trabajo y en la sociedad, así como a desarrollar una conciencia fuerte de lo que está bien y lo que está mal, una sensibilidad a las demandas que nos hacen los demás y la comprensión de los límites de la acción individual y colectiva. En el trabajo, en casa y en la comunidad, vamos a tener que conocer en profundidad cómo viven los demás en diferentes culturas y tradiciones, y también cómo piensan, ya sean científicos o artistas. Independientemente de cuáles sean las tareas en las que las máquinas puedan sustituir al trabajo humano, las demandas para que contribuyamos de manera significativa a la vida social y ciudadana con nuestros conocimientos y capacidades seguirán aumentando.

La complejidad cada vez mayor de la vida actual para los individuos, las comunidades y las sociedades implica que las soluciones a nuestros problemas también serán complejas. En un mundo desequilibrado desde el punto de vista estructural, la necesidad imperativa de reconciliar en escenarios locales diferentes perspectivas e intereses que a menudo tienen repercusiones mundiales significa que tenemos que mejorar nuestra manera de abordar las tensiones y las disyuntivas. A la hora de lograr el equilibrio entre demandas contrapuestas —equidad y libertad, autonomía y comunidad, innovación y continuidad, eficacia y proceso democrático—, rara vez nos encontraremos solamente ante dos opciones, o incluso ante una única solución. Tenemos que pensar de una manera más integrada que reconozca las interconexiones. Nuestra capacidad de sortear la ambigüedad se ha vuelto fundamental.

Un profesor de música con sus alumnos.
Un profesor de música con sus alumnos. JEAN-LUC LUYSSEN GETTY IMAGES

La cuestión de fondo es que, si queremos ir por delante de los avances tecnológicos, tenemos que descubrir y perfeccionar las cualidades únicas de nuestra condición de seres humanos, las cuales, antes que competir con las capacidades que hemos creado en nuestros ordenadores, las completan. Las escuelas tienen que crear seres humanos de primera clase, no robots de segunda.

El problema reside en que desarrollar estas capacidades cognitivas, sociales y emocionales exige un enfoque muy diferente del aprendizaje y la enseñanza, y una nueva categoría de enseñantes. En los contextos en los que el propósito de la enseñanza es impartir conocimiento prefabricado, los sistemas educativos se pueden permitir una baja calidad del profesorado. Y cuando esta es baja, los Gobiernos suelen decir a sus enseñantes exactamente qué hacer y cómo quieren que se haga, utilizando una organización industrial del trabajo para obtener los resultados deseados. El reto es convertir la docencia en una profesión de trabajadores del conocimiento avanzados que desempeñen su función con una gran autonomía profesional y dentro de una cultura de la colaboración.

Pero esta clase de personas se negarán a trabajar como piezas intercambiables de sistemas educativos organizados como talleres tayloristas basados principalmente en formas administrativas de responsabilidad y sistemas burocráticos de mando y control para dirigir su actividad. Para atraer a las personas precisas, los modernos sistemas de enseñanza tienen que transformar la forma de organización del trabajo en otra en la que las normas profesionales de control sustituyan a los procedimientos de control burocráticos y administrativos. En el pasado, el saber se recibía; en el futuro tiene que generarlo quien vaya a utilizarlo.

Antes, la educación era básicamente temática; en el futuro deberá basarse más en proyectos, en construir experiencias que ayuden a los estudiantes a pensar más allá de los límites de las disciplinas temáticas. El pasado era jerárquico; el futuro será colaborativo y reconocerá que tanto los enseñantes como los estudiantes son recursos y cocreadores.

Las escuelas tienen que crear seres humanos de primera clase, no robots de segunda

En el pasado se enseñaba de la misma manera a estudiantes diferentes. En el presente, los sistemas de aprendizaje tienen que abrirse a la diversidad con enfoques docentes diferenciados. Los objetivos del pasado eran la normalización y la docilidad. Los estudiantes se organizaban por grupos de edad, seguían el mismo programa estándar y se evaluaba a todos al mismo tiempo. En el futuro habrá que desarrollar la formación a partir de las pasiones y las capacidades de los alumnos, ayudarlos a personalizar su aprendizaje y su evaluación de manera que se fomente su interés y su talento. Se tratará de animar a los estudiantes a ser ingeniosos.

El pasado también estaba dividido. Los profesores y los contenidos se repartían por temas, y los alumnos se separaban en función de las expectativas relacionadas con sus futuras perspectivas profesionales; los centros de enseñanza estaban diseñados para que los que estudiasen se quedasen dentro y el resto del mundo fuera; no había relación con las familias y sí renuencia a asociarse con otros centros. El futuro tendrá que ser integrado y conceder importancia a la interrelación de los temas y la integración de los estudiantes. También tendrá que estar conectado, de manera que el aprendizaje guarde una relación estrecha con los contextos del mundo real y los temas contemporáneos y abierto a la riqueza de recursos que hay en la comunidad.

Utilizar ventajosamente la tecnología. La tecnología será parte inseparable del futuro de la enseñanza. Con ella no solo es posible cambiar los métodos de enseñanza y aprendizaje, sino también elevar la función de los docentes de transmitir conocimiento recibido a trabajar como cocreadores de conocimiento, como formadores, mentores y evaluadores. La tecnología puede permitir que los profesores y los estudiantes accedan a material especializado mucho más allá de los libros de texto, en múltiples formatos y de maneras capaces de salvar el tiempo y el espacio. La tecnología ofrece la posibilidad de formar comunidades de estudiantes que hagan el aprendizaje más social y divertido, así como comunidades de enseñantes para compartir y enriquecer los recursos y las prácticas docentes, y colaborar en el crecimiento profesional y la institucionalización del ejercicio de la profesión. España acertó cuando, en la primera fase de la crisis, dio impulso al aprendizaje por Internet. Pero imaginemos una plataforma gigante de colaboración abierta distribuida en la que los profesores, los pedagogos y los expertos en política españoles colaborasen para supervisar los contenidos y las prácticas pedagógicas más relevantes a la hora de cumplir los objetivos educativos, y en la que los alumnos de cualquier lugar del país tuviesen acceso a las experiencias educativas mejores y más innovadoras.

Una profesora da clases por ordenador desde un aula vacía en Alemania.
Una profesora da clases por ordenador desde un aula vacía en Alemania. KAY NIETFELD GETTY IMAGES

No obstante, mientras que muchos centros de enseñanza están equipados al menos con el mínimo de tecnología necesaria para el aprendizaje por Internet, uno de cada cinco directores de colegios españoles denunciaba que la escasez o la deficiencia de la tecnología digital obstaculizaba el aprendizaje bastante o mucho. A esto hay que añadir que las ventajas de la tecnología dependen de que esta se utilice bien. Según la Encuesta Internacional de Enseñanza y Aprendizaje (TALIS, por sus siglas en inglés), el 51% de los profesores españoles permiten frecuentemente o siempre que sus alumnos utilicen las tecnologías de la información para los proyectos o el trabajo en clase. En Dinamarca o Nueva Zelanda el porcentaje es del 80% o más, y en Finlandia, Israel o Rumania las cifras se han duplicado con creces en los últimos cinco años.

Dar autoridad a los enseñantes y posibilitar la innovación. Pero la esencia del aprendizaje no es la tecnología, sino la pedagogía y la titularidad. Ni siquiera el mejor ministro de Educación puede hacer justicia a las necesidades de millones de estudiantes, cientos de miles de enseñantes y decenas de miles de centros educativos. El desafío consiste en apoyarse en la experiencia de los profesores y los directores de las escuelas, y captarlos para que hagan frente a los retos. Podemos fijarnos en Estonia y Finlandia, los países con mejores resultados en el informe del Programa Internacional para la Evaluación de Estudiantes (PISA, por sus siglas en inglés), cuyos sistemas educativos están construidos totalmente desde la base. En parte, los candidatos a profesores se seleccionan en función de su capacidad para transmitir su fe en la misión decisiva de la educación pública y se forman básicamente en los centros de enseñanza. La preparación que reciben está diseñada para desarrollar una mentalidad de responsabilidad individual en la enseñanza y el bienestar de los alumnos a su cargo. El nivel de confianza que la comunidad en general extiende a sus escuelas genera un fuerte sentimiento de responsabilidad colectiva en el éxito de cada estudiante. A su vez, el alto nivel de coherencia de las políticas, gracias a la cual las decisiones se mantienen a través de los ciclos electorales y las Administraciones políticas, hace que los enseñantes finlandeses y estonios confíen en sus líderes en materia de educación, que por su parte cuentan con la capacidad de los enseñantes para poner en práctica lo que les dicen. No menos importante es que estos sistemas logran ajustar los recursos a las necesidades y reconciliar equidad con calidad (lo cual, en la crisis actual, constituye un reto aún más formidable), consiguiendo así que la escuela más cercana sea siempre la mejor.

El mayor riesgo de la crisis es que se fracture el tejido social creado en y por las escuelas

Mucha gente me dice que no podemos dar más autonomía a los enseñantes y a los líderes educativos porque no tienen la capacidad ni la experiencia para estar a la altura, pero limitarse a perpetuar nuestra visión prescriptiva de la enseñanza no funcionará en este momento de crisis, que exige de los profesores no solo que reproduzcan sus clases en otro medio, sino que descubran respuestas totalmente nuevas a qué, cómo, dónde y cuándo se aprende.

Mantener el tejido social de las escuelas y las comunidades. Tal vez el mayor riesgo de la crisis es que se fracture el tejido social creado en y por las escuelas. El aprendizaje no es un proceso transaccional en el que los estudiantes son consumidores pasivos de contenidos; las escuelas, proveedores de servicios, y los padres, clientes. El aprendizaje siempre tiene lugar a través de la interacción y en un entorno de bienestar y percepción de la propia eficacia tanto para los alumnos como para los profesores. Un factor determinante de los resultados que obtengan los estudiantes en las próximas semanas y meses, en particular los de grupos desfavorecidos, es el mantenimiento de una relación estrecha con sus profesores. En esta crisis, los centros de enseñanza tienen que facilitar maneras de que los docentes sigan estando socialmente próximos en la distancia física. TALIS muestra que esto es algo que los profesores hacen de manera natural: 9 de cada 10 declararon que ejercían la docencia para ayudar a cambiar la vida de los niños, y tres cuartas partes se refirieron expresamente a la posibilidad de favorecer a los socialmente desfavorecidos. La función de los sistemas educativos es apoyar a los enseñantes en esta misión.

Por importante que sea que los enseñantes sigan conectados con sus alumnos, la crisis actual pondrá aún más de relieve la necesidad de que los profesores sigan conectados entre ellos. Sabemos que esto es difícil incluso en épocas de normalidad. La media de profesores españoles que observan con regularidad las clases de sus compañeros y comparten con ellos sus observaciones es tan solo del 5%, mientras que los que participan en sesiones de aprendizaje profesional colaborativo al menos una vez al mes o dan clases en equipo como mínimo mensualmente se limita al 21%. Sin embargo, son precisamente estas actividades las que guardan relación con unos niveles más altos de percepción de la propia eficacia entre los docentes. Las grandes diferencias en el tiempo y entre países demuestran que la situación puede ser diferente. En Vietnam, el 78% de los profesores se preocupan de observar otras clases con regularidad; en Shanghái, el 70% participan en el aprendizaje profesional colaborativo, y en Austria, Italia y Japón la enseñanza en equipo es habitual.

El aprendizaje no es un proceso donde el estudiante es un consumidor pasivo

Redefinir el liderazgo. Tal vez lo que esta crisis haya puesto más de relieve es la necesidad de un liderazgo eficaz a todos los niveles del sistema educativo. En las épocas de gran incertidumbre, las personas buscan algo a lo que asirse que sirva para restaurar el orden. En la educación, los líderes de los centros de enseñanza serán los que den respuesta a las necesidades inmediatas de los alumnos, las familias, el personal y las comunidades mientras se preparan para los cambios que tendrán lugar en el mundo del aprendizaje y la enseñanza. Esta tarea no parece fácil ni siquiera en épocas de paz. En TALIS, tan solo una media del 37% de los directores de centros educativos declararon que el año anterior a la encuesta habían colaborado con los directores de otros centros a la hora de abordar tareas complejas. Nos enfrentamos a un desafío extraordinario, y no es momento de oponer lo público a lo privado, sino de que ambos colaboren.

Otro aspecto no menos importante es que el momento requiere líderes de sistemas capaces de enfrentarse a las estructuras institucionales construidas demasiadas veces en torno a los intereses y hábitos de adultos más que de los estudiantes; líderes comprometidos con el cambio social, imaginativos a la hora de diseñar políticas y capaces de emplear la confianza que se ganan para ser artífices de un verdadero cambio. En este momento de crisis, no se pregunten cuántos profesores siguen sus instrucciones, sino cuántos son capaces de participar activamente en una colaboración eficaz.

Fuente e imagen tomadas de: https://elpais.com/elpais/2020/05/26/eps/1590510443_831577.html

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Los números enamorados

Por: culturacientifica.com.

 

El artista futurista italiano Giacomo Balla (1871-1958) pintó una obra titulada Los números enamorados en 1924, asociando una cualidad humana, como es el enamoramiento, a los números. También en el ámbito de las matemáticas nos gusta asociar a los números, en particular, a los números naturales, cualidades humanas. Existen números amigos, sociables, novios, narcisistas, felices, tristes, hambrientos, intocables, ambiciosos, afortunados, poderosos, malvados, odiosos, prácticos o raros, pero también, con otras denominaciones curiosas, como números vampiros, parásitos, perniciosos, apocalípticos, perfectos, poligonales, cíclicos, automorfos, sublimes, abundantes, escasos o intocables.

Algunas de estas familias de números deben su propiedad definitoria al comportamiento de sus divisores propios, es decir, entre los divisores no se considera al propio número. Son a estas familias de números naturales a las que vamos a dedicar la entrada de hoy de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica.

Empecemos con unas familias de números con un origen muy antiguo. Un número se dice que es perfecto si es igual a la suma de sus divisores (propios), como ocurre con los números 6 = 1 + 2 + 3 y 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Se los denominó perfectos porque en tiempos antiguos se dio a esta propiedad una interpretación divina. Por ejemplo, San Agustín relaciona el hecho de que Dios crease el mundo en 6 días, con la perfección de este número.

Los siguientes números perfectos, después de 6 y 28, conocidos ya desde la antigüedad, son

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 248

8.128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1.016 + 2.032 + 4.084

Se desconoce el origen exacto de los números perfectos, aunque ya eran conocidos por los matemáticos griegos. Euclides de Alejandría (aprox. 325 – 265 a.n.e.) los estudia en su obra Los Elementos, aunque antes los había estudiado Pitágoras (aprox. 570 – 495 a.n.e.), e incluso podrían haber sido conocidos por los egipcios.

Euclides demostró que para algunos números primos p, los números de la forma 2p–1 (2– 1) son perfectos, por ejemplo, para p = 2, 3, 5, y 7, se obtienen los perfectos anteriores. Dos milenios después, el matemático suizo Leonhard Euler (1707 – 1783) demostraría que todos los números perfectos pares son de esta forma, con (2– 1) un número primo.

El quinto número primo encontrado fue 33.550.336, para p = 13, que aparece en un manuscrito del siglo XV. El sexto y séptimo –para p = 17 y 19– fueron descubiertos por el matemático italiano Pietro Cataldi (1548 – 1626) en 1588, en concreto, 8.589.869.056 y 137.438.691.328. Y Euler, en 1772, descubrió el octavo, que es 230 (231 – 1) = 2.305.843.008.139.952.128.

Obtener números perfectos es una tarea muy difícil, luego podemos decir que “la perfección es difícil de conseguir”. Antes del siglo XX solo se conocían 9 números perfectos. El noveno fue obtenido, para p = 61, por el matemático ruso Iván Pervushin (1827 – 1900), en 1883. De hecho, en la fórmula de Euclides-Euler no basta con que p sea primo, ya que para p = 11, 211 – 1 = 2.047 = 23 x 89, no es primo, con lo cual 210 (211 – 1) no es perfecto.

Con la ayuda de los ordenadores ha sido posible calcular muchos más, pero no demasiados. Solo se conocen, hasta la fecha, 51 números perfectos. El último descubierto, en 2018, fue el correspondiente al primo p = 82.589.933.

Se desconoce si existe un número infinito o finito de números perfectos. Además, todos los números perfectos conocidos son pares, y no se sabe si existen impares. Lo que se ha conseguido demostrar es que de existir tendrían que cumplir una serie de propiedades, como tener al menos 9 divisores primos distintos o ser mayores que 101.500, entre muchas otras.

Veintiocho (modelo para una escultura pública), 1992, del artista estadounidense Jonathan Borofsky. Imagen de su página web

Ya los griegos dividieron a los números naturales que no son perfectos en dos categorías, los abundantes y los deficientes. Los números que no son perfectos pueden ser abundantes, cuando el número es menor que la suma se los divisores, como el 12 deficientes en el caso contrario, como el 14 > 1 + 2 + 7 = 10 o todos los números primos, cuyo único divisor propio es el 1. Estos conceptos, como la perfección, formaron parte de la numerología griega.

El religioso, teólogo y matemático anglosajón Alcuino de York (735 – 804) relacionaba la “segunda creación” de Dios, el diluvio universal y el Arca de Noé, con el número 8, ya que la humanidad desciende de las 8 almas que se salvaron del diluvio refugiándose en el Arca de Noé. Por lo tanto, esta es una creación imperfecta, puesto que el número 8 es deficiente, 8 > 1 + 2 + 4.

Los números llamados abundantes no son, sin embargo, tan abundantes como su nombre indica. Existen 245 números abundantes menores que 1.000, aunque solo uno de ellos impar, el número 945 = 33 x 5 x 7, los demás son pares, y solo 3 números perfectos (por supuesto, pares), el resto son deficientes. Entre los primeros 50.000 números hay 37.602 deficientes, 4 perfectos y 12.394 abundantes. Entre estos 12.394 números abundantes, solo 114 son impares.

Así como lo bello y lo excelente es raro de encontrar y se cuenta pronto, pero lo feo y lo malo siempre es prolífico, así también los números abundantes y deficientes resultan ser muchos y en desorden, y su descubrimiento no obedece a sistema alguno. Pero los perfectos, son a un tiempo escasos en número y se hallan dispuestos en un orden apropiado.

Nicómaco de Gerasa (aprox. 60 – 120 n.e.), Introducción a la Aritmética

Imagen 3 (Pie de imagen: You know my name (look up the number), acrílico sobre papel, 63 x 90 cm, del artista suizo Eugen Jost. Entre las sucesiones de números que aparecen, están los primeros números perfectos. Imagen de Plus Magazine[https://plus.maths.org/content/postcard-italy])

Entre los números abundantes, es decir, aquellos que son menores que la suma de sus divisores, se considera que son números casi perfectos aquellos tales que la suma de sus divisores es uno menos que el número. Así, el 16 es un número casi perfecto ya que 1 + 2 + 4 + 8 = 15. De hecho, todas las potencias de 2 son casi perfectas:

Los únicos números casi perfectos que se conocen son las potencias de 2, y es un problema abierto demostrar que estos son los únicos que existen.

Otra familia de números relacionada con la perfección, son los números múltiplo-perfectos omulti-perfectos, aquellos tal que la suma de sus divisores (recordemos que todo el tiempo estamos refiriéndonos a los divisores propios) no es el número, sino un múltiplo del mismo. Por ejemplo, los divisores del número 120 = 23 x 3 x 5 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 y 60, cuya suma es 240 = 2 x 120. Solo se conocen 6 números multi-perfectos cuya suma sea el doble del número, 120, 672, 523.776, 459.818.240, 1.476.304.896, 51.001.180.160, y todos son pares. O, se conocen 36 cuya suma es el triple, de nuevo todos pares, de los cuales el más pequeño es 30.240.

Hardy’s Taxi, acrílico sobre lienzo, 60 x 60 cm, del artista suizo Eugen Jost. Obra perteneciente a la exposición Everything is number

Más aún, un número se dice que es ambicioso si puede llegar a ser perfecto de la siguiente forma. Dado el número se toma la suma de sus divisores, con este nuevo número se vuelve a considerar la suma de sus divisores, y se continúa así, de forma que el número es ambicioso si llega un momento que se alcanza un número perfecto, como en el caso del número 95, cuyos divisores suman 1 + 5 + 19 = 25, y los divisores de este suman 1 + 5 = 6, que es perfecto. Números no ambiciosos son el 24 o los números primos (cuyo único divisor es el 1).

Veamos que el 24 = 23 x 3 no es ambicioso. Sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12, cuya suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36. Ahora, los divisores de 36 = 22 x 32 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 y 18, cuya suma es 55. Ahora este número, 55 = 5 x 11, tiene solo tres divisores 1, 5 y 11, cuya suma es 17, que es primo, luego su único divisor es 1 y se estaciona la sucesión. En consecuencia, el 24 no es ambicioso. Solo se conocen 16 números ambiciosos, 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, e incluso un número tan bajo como 276 se desconoce si es, o no, ambicioso (aunque seguramente no).

Y también relacionados con la perfección están los números sublimes, aquellos tales que tanto el número de sus divisores (incluido ahora el propio número), como la suma de los mismos son perfectos, como el 12, que tiene 6 divisores y su suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, aunque solo se conoce otro número sublime más, que es el siguiente

6.086.555.670.238.378.989.670.371.734.243.169.622.657.830.773.351.885.970.528.324.860.512.791.691.264.

Números amigos (2010), del artista británico Andrew Crane

A continuación, vamos a introducir parejas de números con una fuerte conexión entre ellos, desde la perspectiva que estamos analizando en esta entrada. Empecemos por el número 284, que se puede escribir como la multiplicación de los números primos 71 y 2 de la siguiente forma 284 = 71 x 22. Por lo tanto, los divisores propios del 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, cuya suma es

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Si ahora consideramos el número que nos ha salido, 220, y buscamos sus divisores, como 220 = 11 x 5 x 22, entonces estos son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, y la suma de ellos es

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

precisamente el primer número. Por este motivo, se dice que los números 220 y 284 son números amigos. Es decir, dos números son amigos si la suma de los divisores (propios) del primero es igual al segundo, y viceversa.

Este par de números amigos (220, 284) ya era conocido por los pitagóricos, quienes les atribuían propiedades místicas. En general, en la antigüedad se pensaba que estos números tenían poderes místicos, y eran utilizados en textos religiosos y de magia, en particular, en relación al amor y la amistad. Los astrónomos griegos los incorporaron en sus horóscopos, talismanes y amuletos.

Las personas expertas en los talismanes afirman que los números amigos 220 y 284 ejercen una fuerte influencia para establecer una unión o una amistad muy fuerte entre dos personas

Ibn Jaldún (1332-1406), Muqaddima (prolegómenos), 1377

Cuenta una leyenda que había un sultán aficionado a los puzzles, que al descubrir que tenía a un matemático como prisionero, decidió plantearle la siguiente cuestión. El sultán le dijo al matemático que le planteara un reto, un problema, y que estaría libre durante el tiempo que él necesitara para resolverlo, pero una vez resuelto por el sultán, el matemático sería ejecutado.

El matemático le explicó que los números 220 y 284 son números amigos, y le planteó que buscara otro par de números amigos. El sultán no lo consiguió y el matemático murió de viejo y siendo un hombre libre.

De hecho, calcular más pares de números amigos no es una tarea sencilla. Muchos matemáticos árabes estudiaron los números amigos, entre los siglos IX y XIV, como el iraquí Thabit ibn Qurra (826 – 901) quien dio una fórmula para obtener números amigos. En particular, se obtuvieron dos nuevos pares de números amigos

(17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056).

En el siglo XVII los grandes matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601 – 1665) y René Descartes (1596 – 1650) redescubrieron la fórmula del matemático árabe, así como los dos anteriores pares de números amigos, que es ocasiones son atribuidos a ellos. Otro gran matemático ya mencionado, Leonhard Euler, extendió la fórmula de Qurra y obtuvo 64 nuevos pares de números amigos.

Curiosamente, a todos ellos se les pasó el siguiente par de números amigos más pequeño, después de (220, 284), el par (1.184, 1.210), descubierto por el adolescente Nicolo Paganini, de 16 años, en 1866.

La tarea siguió siendo compleja y hasta 1946 solo se consiguieron descubrir 390 pares de números amigos, hasta que llegó la era de los ordenadores, y su potencia de cálculo, que, junto a nuevos algoritmos, ha permitido calcular (según la wikipedia) hasta marzo de 2019 exactamente 1.223.386.359 parejas de números amigos. Sin embargo, a día de hoy no se sabe aún si existen infinitos pares de números amigos.

Anillos hexagonales, con oro amarillo y oro rosa, con la pareja de números amigos 220 y 284, de la tienda londinense Comford Station, y la caja con la explicación de la pareja de números amigos

Otro nexo de unión entre números. Se dice que dos números son novios o casi-amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de sus divisores menos 1, como el 48 = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 – 1 y el 75 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 – 1. Las primeras parejas de números novios son (48, 75), (140, 195), (1.050, 1.925), (1.575, 1.648), (2.024, 2.295) y (5.775, 6.128). Los números de todas las parejas de novios conocidas tienen paridad opuesta, es decir, uno es par y el otro impar.

La propiedad de amistad puede generalizarse a un grupo de números, de forma que la suma de los divisores de cada uno es igual al siguiente, y la del último igual al primero, entonces se habla de números sociables. El grupo de números más pequeños que son sociables son 12.496, 14.288, 15.472, 14.536 y 14.264. Comprobémoslo:

1) 12.496 = 24 x 11 x 71, divisores: 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 71, 88, 142, 176, 284, 568, 781, 1.136, 1.562, 3.124 y 6.248, cuya suma es 14.288;

2) 14.288 = 24 x 19 x 47, divisores: 1, 2, 4, 8, 16, 19, 38, 47, 76, 94, 152, 188, 304, 376, 752, 893, 1.786, 3.572 y 7.144, cuya suma es 15.472;

3) 15.472 = 24 x 967, divisores: 1, 2, 4, 8, 16, 967, 1.934, 3.868 y 7.736, cuya suma es 14.536;

4) 14.536 = 23 x 23 x 79, divisores: 1, 2, 4, 8, 23, 46, 79, 92, 158, 184, 316, 632, 1.817, 3.634 y 7268, cuya suma es 14.264;

5) 14.264 = 23 x 1.783, divisores: 1, 2, 4, 8, 1.783, 3.566 y 7.132, cuya suma es 12.496.

Se conocen 5.410 grupos de números sociables (véase la lista de números sociables de David Moews), la mayoría formados por 4 números, aunque existe un grupo formado por 28 números.

También existen intocables dentro de la familia de los números naturales, son aquellos que no se pueden expresar como suma de los divisores de ningún número. El número 2 es intocable, el 3 no lo es (3 = 1 + 2, divisores del 4), el 4 tampoco (4 = 1 + 3, divisores del 9) y el 5 sí, ya que solo puede expresarse como 1 + 4, pero si el 4 es divisor del número, también lo es el 2 y la suma sería al menos 7. El siguiente intocable es el 52.

Los números intocables menores de 500 son:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498.

El matemático húngaro Paul Erdös (1913-1996) demostró que existen infinitos números intocables.

Dice Trece [la protagonista se refiere con números a los hombres que han pasado por su vida] que le ha hecho esos dos regalos –el libro [de Murakami] y lo del segundo cajón [un consolador]– para que se acuerde de él. Sin embargo, por la esencia oriental de uno y las dimensiones del otro, lo que Trece ha conseguido es que Pi, en lugar de acordarse de él, se acuerde de Dos. Por ambas razones.

Dos se ha convertido en una medida (de hecho, es un número intocable, pues no es la suma de los divisores de ningún número). No tiene tanta importancia como persona real en el presente […] sino como recuerdo y, sobre todo, como convención, como medida. Dos es la medida del sistema métrico sentimental

Juan Pardo Vidal, La luz de la mesita de noche, Sloper, 2012

Por otra parte, un número se dice que es práctico si todos los números naturales más pequeños que él pueden ser expresados como suma de distintos divisores del número. Así, el número 12 es un número práctico ya que todos los números menores que él, desde el 1 al 11, pueden ser expresados como suma de algunos de los divisores de 12. Veámoslo: los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6, luego 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 5 = 1 + 4, 6 = 2 + 4, 7 = 1 + 2 + 4, 8 = 2 + 6, 9 = 3 + 6, 10 = 4 + 6 y 11 = 1 + 4 + 6.

Los números prácticos menores que 100 son: 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90 y 96.

El concepto fue definido en 1948 por el matemático indio A. K. Srinivasan, números que en su opinión eran interesantes de estudiar por su relación con las subdivisiones del dinero, los pesos y las medidas. Aunque estos números ya fueron utilizados por el matemático italiano Fibonacci (Leonardo de Pisa, 1170 – 1240), en su obra Liber Abaci (Libro del Ábaco, 1202), en relación a las fracciones egipcias (véase la entrada de Marta Macho, Sobre fracciones egipcias).

Claramente, todas las potencias de 2 son prácticas, ya que dado 2n, se puede expresar cualquier número entre 1 y 2n – 1 como suma de potencias de 2, menores que 2n, que son sus divisores. Es solamente una cuestión de divisibilidad y el fundamento del sistema binario. Se conocen muchas propiedades de los números prácticos, como que existen infinitos, el producto de dos números prácticos es un número práctico, los números perfectos pares, luego de la forma 2p–1 (2– 1), son prácticos, o que, salvo el 1 y el 2, todos los números prácticos son divisibles por 4 o 6, entre otras.

Instalación Forest of numbers – Bosque de números (2017), de la artista francesa Emmanuelle Moureaux. Imagen de su página web

Y no podían faltar los números raros, o extraños, que son aquellos que son abundantes, es decir, la suma de los divisores es mayor que el número, pero no se puede obtener el número exacto quitando algunos de los divisores, es decir, como suma de un subconjunto de divisores propios. Por ejemplo, el 12 es abundante, pero como 12 = 2 + 4 + 6, no es raro, y el número raro más pequeño es 70 (cuyos divisores son 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35).

Aunque se sabe que existen infinitos números raros, estos son relativamente escasos, por ejemplo, solamente hay 7 números raros menores que 10.000, que son 70, 836, 4.030, 5.830, 7.192, 7.912 y 9.272. Todos los números raros conocidos son pares y si existe alguno impar deberá ser, por lo menos, mayor que 1021.

Cerramos este repaso a algunas tribus numéricas con los números poderosos, que son aquellos tales que, si un número primo p es divisor suyo, también lo es su cuadrado p2, como el 36, cuyos divisores primos son 2 y 3, y sus cuadrados también son divisores de 36. Curiosamente, un número m es poderoso si, y sólo si, se puede expresar como m = a2b3, para algún par de números a y b. Claramente, si un número es de la forma a2b3 es poderoso (ya que los cuadrados de los primos de la descomposición en primos de a y b claramente dividen a a2b3), pero, además, todos los números poderosos son de esta forma. Veámoslo:

Por ejemplo, para el número m = 21.600 = 25 x 33 x 52, tendríamos que b = 2 x 3 = 6 y a = 2 x 5 = 10.

Existen algunos problemas interesantes sobre los números poderosos. Como se observa fácilmente, todo número impar es resta de dos cuadrados, luego de dos números poderosos, 2 k + 1 = (k + 1)2 – k2. Lo mismo ocurre con los múltiplos de 4, ya que 4 k + 4 = (k + 2)2 – k2.

Pero, ¿qué pasaba con los números pares no divisibles por 4, podían expresarse como resta de números poderosos? El matemático e ingeniero estadounidense Solomon W. Golomb (1932 – 2016), conocido por sus trabajos sobre juegos matemáticos, observó que algunos sí podían expresarse, como 2 = 33 – 52, 10 = 133 – 37 o 18 = 192 – 73 = 35 – 152, y conjeturó que el número 6 no podía expresarse como resta de números poderosos, así como infinitos otros números pares. El matemático polaco Władysław Narkiewicz demostró que el 6 no solo podía representarse de esta forma, 6 = 5473 – 4632, sino que existían infinitas formas de hacerlo. Más aún, en 1982, el matemático estadounidense Wayne L McDaniel extendió el resultado para todos los números pares, no divisibles por 4.

Por otra parte, Paul Erdös conjeturó, y fue demostrado por el matemático británico Roger Heath-Brown, que todo número natural suficientemente grande puede expresarse como suma de tres números poderosos.

Instalación “SOHO” (2008), del artista japonés Tatsuo Miyajima. Imagen de su página web

Bibliografía

1.- Clifford A. Pickover, El prodigio de los números. Desafíos, paradojas y curiosidades matemáticas, Ma Non Troppo (ediciones Robinbook), 2002.

2.- Clifford A. Pickover, La maravilla de los números. Un viaje por los secretos de las matemáticas, sus desafíos y caprichos, Ma Non Troppo (ediciones Robinbook), 2002.

3.- Lamberto García del Cid, Números notables. El 0, el 666 y otras bestias numéricas, El mundo es matemático, RBA, 2010.

4.- Howard H. Eves, Mathematical Circles, The Mathematical Association of America (MAA), 2003.

5.- Wikipedia: Perfect number

6.- David G. Kendall, The Scale of Perfection, Journal of Applied Probability, Vol. 19, Essays in Statistical Science, pp. 125-138, 1982.

7.- Eugen Jost, A postcard from Italy, Plus Magazine, 1999

8.- Wolfram Mathworld: Multiperfect number

9.- Wolfram Mathworld: Aspiring number

10.- Wikipedia: Amicable numbers

11.- Wikipedia: Betrothed or quasi amicable numbers

12.- Wikipedia: Untouchable number

13.- Wikipedia: Practical number

14.- Página web de la artista Emmanuelle Moureaux

15.- Wikipedia: Weird number

16.- Wikipedia: Powerful number

17.- Página web del artista japonés Tatsuo Miyajima

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

Fuente de la reseña: https://culturacientifica.com/2019/03/20/los-numeros-enamorados/

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