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Los números enamorados

Reseñas

Por: culturacientifica.com.

 

El artista futurista italiano Giacomo Balla (1871-1958) pintó una obra titulada Los números enamorados en 1924, asociando una cualidad humana, como es el enamoramiento, a los números. También en el ámbito de las matemáticas nos gusta asociar a los números, en particular, a los números naturales, cualidades humanas. Existen números amigos, sociables, novios, narcisistas, felices, tristes, hambrientos, intocables, ambiciosos, afortunados, poderosos, malvados, odiosos, prácticos o raros, pero también, con otras denominaciones curiosas, como números vampiros, parásitos, perniciosos, apocalípticos, perfectos, poligonales, cíclicos, automorfos, sublimes, abundantes, escasos o intocables.

Algunas de estas familias de números deben su propiedad definitoria al comportamiento de sus divisores propios, es decir, entre los divisores no se considera al propio número. Son a estas familias de números naturales a las que vamos a dedicar la entrada de hoy de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica.

Empecemos con unas familias de números con un origen muy antiguo. Un número se dice que es perfecto si es igual a la suma de sus divisores (propios), como ocurre con los números 6 = 1 + 2 + 3 y 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Se los denominó perfectos porque en tiempos antiguos se dio a esta propiedad una interpretación divina. Por ejemplo, San Agustín relaciona el hecho de que Dios crease el mundo en 6 días, con la perfección de este número.

Los siguientes números perfectos, después de 6 y 28, conocidos ya desde la antigüedad, son

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 248

8.128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1.016 + 2.032 + 4.084

Se desconoce el origen exacto de los números perfectos, aunque ya eran conocidos por los matemáticos griegos. Euclides de Alejandría (aprox. 325 – 265 a.n.e.) los estudia en su obra Los Elementos, aunque antes los había estudiado Pitágoras (aprox. 570 – 495 a.n.e.), e incluso podrían haber sido conocidos por los egipcios.

Euclides demostró que para algunos números primos p, los números de la forma 2p–1 (2p – 1) son perfectos, por ejemplo, para p = 2, 3, 5, y 7, se obtienen los perfectos anteriores. Dos milenios después, el matemático suizo Leonhard Euler (1707 – 1783) demostraría que todos los números perfectos pares son de esta forma, con (2p – 1) un número primo.

El quinto número primo encontrado fue 33.550.336, para p = 13, que aparece en un manuscrito del siglo XV. El sexto y séptimo –para p = 17 y 19– fueron descubiertos por el matemático italiano Pietro Cataldi (1548 – 1626) en 1588, en concreto, 8.589.869.056 y 137.438.691.328. Y Euler, en 1772, descubrió el octavo, que es 230 (231 – 1) = 2.305.843.008.139.952.128.

Obtener números perfectos es una tarea muy difícil, luego podemos decir que “la perfección es difícil de conseguir”. Antes del siglo XX solo se conocían 9 números perfectos. El noveno fue obtenido, para p = 61, por el matemático ruso Iván Pervushin (1827 – 1900), en 1883. De hecho, en la fórmula de Euclides-Euler no basta con que p sea primo, ya que para p = 11, 211 – 1 = 2.047 = 23 x 89, no es primo, con lo cual 210 (211 – 1) no es perfecto.

Con la ayuda de los ordenadores ha sido posible calcular muchos más, pero no demasiados. Solo se conocen, hasta la fecha, 51 números perfectos. El último descubierto, en 2018, fue el correspondiente al primo p = 82.589.933.

Se desconoce si existe un número infinito o finito de números perfectos. Además, todos los números perfectos conocidos son pares, y no se sabe si existen impares. Lo que se ha conseguido demostrar es que de existir tendrían que cumplir una serie de propiedades, como tener al menos 9 divisores primos distintos o ser mayores que 101.500, entre muchas otras.

Veintiocho (modelo para una escultura pública), 1992, del artista estadounidense Jonathan Borofsky. Imagen de su página web

Ya los griegos dividieron a los números naturales que no son perfectos en dos categorías, los abundantes y los deficientes. Los números que no son perfectos pueden ser abundantes, cuando el número es menor que la suma se los divisores, como el 12 deficientes en el caso contrario, como el 14 > 1 + 2 + 7 = 10 o todos los números primos, cuyo único divisor propio es el 1. Estos conceptos, como la perfección, formaron parte de la numerología griega.

El religioso, teólogo y matemático anglosajón Alcuino de York (735 – 804) relacionaba la “segunda creación” de Dios, el diluvio universal y el Arca de Noé, con el número 8, ya que la humanidad desciende de las 8 almas que se salvaron del diluvio refugiándose en el Arca de Noé. Por lo tanto, esta es una creación imperfecta, puesto que el número 8 es deficiente, 8 > 1 + 2 + 4.

Los números llamados abundantes no son, sin embargo, tan abundantes como su nombre indica. Existen 245 números abundantes menores que 1.000, aunque solo uno de ellos impar, el número 945 = 33 x 5 x 7, los demás son pares, y solo 3 números perfectos (por supuesto, pares), el resto son deficientes. Entre los primeros 50.000 números hay 37.602 deficientes, 4 perfectos y 12.394 abundantes. Entre estos 12.394 números abundantes, solo 114 son impares.

Así como lo bello y lo excelente es raro de encontrar y se cuenta pronto, pero lo feo y lo malo siempre es prolífico, así también los números abundantes y deficientes resultan ser muchos y en desorden, y su descubrimiento no obedece a sistema alguno. Pero los perfectos, son a un tiempo escasos en número y se hallan dispuestos en un orden apropiado.

Nicómaco de Gerasa (aprox. 60 – 120 n.e.), Introducción a la Aritmética

Imagen 3 (Pie de imagen: You know my name (look up the number), acrílico sobre papel, 63 x 90 cm, del artista suizo Eugen Jost. Entre las sucesiones de números que aparecen, están los primeros números perfectos. Imagen de Plus Magazine[https://plus.maths.org/content/postcard-italy])

Entre los números abundantes, es decir, aquellos que son menores que la suma de sus divisores, se considera que son números casi perfectos aquellos tales que la suma de sus divisores es uno menos que el número. Así, el 16 es un número casi perfecto ya que 1 + 2 + 4 + 8 = 15. De hecho, todas las potencias de 2 son casi perfectas:

Los únicos números casi perfectos que se conocen son las potencias de 2, y es un problema abierto demostrar que estos son los únicos que existen.

Otra familia de números relacionada con la perfección, son los números múltiplo-perfectos omulti-perfectos, aquellos tal que la suma de sus divisores (recordemos que todo el tiempo estamos refiriéndonos a los divisores propios) no es el número, sino un múltiplo del mismo. Por ejemplo, los divisores del número 120 = 23 x 3 x 5 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 y 60, cuya suma es 240 = 2 x 120. Solo se conocen 6 números multi-perfectos cuya suma sea el doble del número, 120, 672, 523.776, 459.818.240, 1.476.304.896, 51.001.180.160, y todos son pares. O, se conocen 36 cuya suma es el triple, de nuevo todos pares, de los cuales el más pequeño es 30.240.

Hardy’s Taxi, acrílico sobre lienzo, 60 x 60 cm, del artista suizo Eugen Jost. Obra perteneciente a la exposición Everything is number

Más aún, un número se dice que es ambicioso si puede llegar a ser perfecto de la siguiente forma. Dado el número se toma la suma de sus divisores, con este nuevo número se vuelve a considerar la suma de sus divisores, y se continúa así, de forma que el número es ambicioso si llega un momento que se alcanza un número perfecto, como en el caso del número 95, cuyos divisores suman 1 + 5 + 19 = 25, y los divisores de este suman 1 + 5 = 6, que es perfecto. Números no ambiciosos son el 24 o los números primos (cuyo único divisor es el 1).

Veamos que el 24 = 23 x 3 no es ambicioso. Sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12, cuya suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36. Ahora, los divisores de 36 = 22 x 32 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 y 18, cuya suma es 55. Ahora este número, 55 = 5 x 11, tiene solo tres divisores 1, 5 y 11, cuya suma es 17, que es primo, luego su único divisor es 1 y se estaciona la sucesión. En consecuencia, el 24 no es ambicioso. Solo se conocen 16 números ambiciosos, 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, e incluso un número tan bajo como 276 se desconoce si es, o no, ambicioso (aunque seguramente no).

Y también relacionados con la perfección están los números sublimes, aquellos tales que tanto el número de sus divisores (incluido ahora el propio número), como la suma de los mismos son perfectos, como el 12, que tiene 6 divisores y su suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, aunque solo se conoce otro número sublime más, que es el siguiente

6.086.555.670.238.378.989.670.371.734.243.169.622.657.830.773.351.885.970.528.324.860.512.791.691.264.

Números amigos (2010), del artista británico Andrew Crane

A continuación, vamos a introducir parejas de números con una fuerte conexión entre ellos, desde la perspectiva que estamos analizando en esta entrada. Empecemos por el número 284, que se puede escribir como la multiplicación de los números primos 71 y 2 de la siguiente forma 284 = 71 x 22. Por lo tanto, los divisores propios del 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, cuya suma es

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Si ahora consideramos el número que nos ha salido, 220, y buscamos sus divisores, como 220 = 11 x 5 x 22, entonces estos son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, y la suma de ellos es

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

precisamente el primer número. Por este motivo, se dice que los números 220 y 284 son números amigos. Es decir, dos números son amigos si la suma de los divisores (propios) del primero es igual al segundo, y viceversa.

Este par de números amigos (220, 284) ya era conocido por los pitagóricos, quienes les atribuían propiedades místicas. En general, en la antigüedad se pensaba que estos números tenían poderes místicos, y eran utilizados en textos religiosos y de magia, en particular, en relación al amor y la amistad. Los astrónomos griegos los incorporaron en sus horóscopos, talismanes y amuletos.

“Las personas expertas en los talismanes afirman que los números amigos 220 y 284 ejercen una fuerte influencia para establecer una unión o una amistad muy fuerte entre dos personas”

Ibn Jaldún (1332-1406), Muqaddima (prolegómenos), 1377

Cuenta una leyenda que había un sultán aficionado a los puzzles, que al descubrir que tenía a un matemático como prisionero, decidió plantearle la siguiente cuestión. El sultán le dijo al matemático que le planteara un reto, un problema, y que estaría libre durante el tiempo que él necesitara para resolverlo, pero una vez resuelto por el sultán, el matemático sería ejecutado.

El matemático le explicó que los números 220 y 284 son números amigos, y le planteó que buscara otro par de números amigos. El sultán no lo consiguió y el matemático murió de viejo y siendo un hombre libre.

De hecho, calcular más pares de números amigos no es una tarea sencilla. Muchos matemáticos árabes estudiaron los números amigos, entre los siglos IX y XIV, como el iraquí Thabit ibn Qurra (826 – 901) quien dio una fórmula para obtener números amigos. En particular, se obtuvieron dos nuevos pares de números amigos

(17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056).

En el siglo XVII los grandes matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601 – 1665) y René Descartes (1596 – 1650) redescubrieron la fórmula del matemático árabe, así como los dos anteriores pares de números amigos, que es ocasiones son atribuidos a ellos. Otro gran matemático ya mencionado, Leonhard Euler, extendió la fórmula de Qurra y obtuvo 64 nuevos pares de números amigos.

Curiosamente, a todos ellos se les pasó el siguiente par de números amigos más pequeño, después de (220, 284), el par (1.184, 1.210), descubierto por el adolescente Nicolo Paganini, de 16 años, en 1866.

La tarea siguió siendo compleja y hasta 1946 solo se consiguieron descubrir 390 pares de números amigos, hasta que llegó la era de los ordenadores, y su potencia de cálculo, que, junto a nuevos algoritmos, ha permitido calcular (según la wikipedia) hasta marzo de 2019 exactamente 1.223.386.359 parejas de números amigos. Sin embargo, a día de hoy no se sabe aún si existen infinitos pares de números amigos.

Anillos hexagonales, con oro amarillo y oro rosa, con la pareja de números amigos 220 y 284, de la tienda londinense Comford Station, y la caja con la explicación de la pareja de números amigos

Otro nexo de unión entre números. Se dice que dos números son novios o casi-amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de sus divisores menos 1, como el 48 = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 – 1 y el 75 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 – 1. Las primeras parejas de números novios son (48, 75), (140, 195), (1.050, 1.925), (1.575, 1.648), (2.024, 2.295) y (5.775, 6.128). Los números de todas las parejas de novios conocidas tienen paridad opuesta, es decir, uno es par y el otro impar.

La propiedad de amistad puede generalizarse a un grupo de números, de forma que la suma de los divisores de cada uno es igual al siguiente, y la del último igual al primero, entonces se habla de números sociables. El grupo de números más pequeños que son sociables son 12.496, 14.288, 15.472, 14.536 y 14.264. Comprobémoslo:

1) 12.496 = 24 x 11 x 71, divisores: 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 71, 88, 142, 176, 284, 568, 781, 1.136, 1.562, 3.124 y 6.248, cuya suma es 14.288;

2) 14.288 = 24 x 19 x 47, divisores: 1, 2, 4, 8, 16, 19, 38, 47, 76, 94, 152, 188, 304, 376, 752, 893, 1.786, 3.572 y 7.144, cuya suma es 15.472;

3) 15.472 = 24 x 967, divisores: 1, 2, 4, 8, 16, 967, 1.934, 3.868 y 7.736, cuya suma es 14.536;

4) 14.536 = 23 x 23 x 79, divisores: 1, 2, 4, 8, 23, 46, 79, 92, 158, 184, 316, 632, 1.817, 3.634 y 7268, cuya suma es 14.264;

5) 14.264 = 23 x 1.783, divisores: 1, 2, 4, 8, 1.783, 3.566 y 7.132, cuya suma es 12.496.

Se conocen 5.410 grupos de números sociables (véase la lista de números sociables de David Moews), la mayoría formados por 4 números, aunque existe un grupo formado por 28 números.

También existen intocables dentro de la familia de los números naturales, son aquellos que no se pueden expresar como suma de los divisores de ningún número. El número 2 es intocable, el 3 no lo es (3 = 1 + 2, divisores del 4), el 4 tampoco (4 = 1 + 3, divisores del 9) y el 5 sí, ya que solo puede expresarse como 1 + 4, pero si el 4 es divisor del número, también lo es el 2 y la suma sería al menos 7. El siguiente intocable es el 52.

Los números intocables menores de 500 son:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498.

El matemático húngaro Paul Erdös (1913-1996) demostró que existen infinitos números intocables.

“Dice Trece [la protagonista se refiere con números a los hombres que han pasado por su vida] que le ha hecho esos dos regalos –el libro [de Murakami] y lo del segundo cajón [un consolador]– para que se acuerde de él. Sin embargo, por la esencia oriental de uno y las dimensiones del otro, lo que Trece ha conseguido es que Pi, en lugar de acordarse de él, se acuerde de Dos. Por ambas razones.

Dos se ha convertido en una medida (de hecho, es un número intocable, pues no es la suma de los divisores de ningún número). No tiene tanta importancia como persona real en el presente […] sino como recuerdo y, sobre todo, como convención, como medida. Dos es la medida del sistema métrico sentimental”

Juan Pardo Vidal, La luz de la mesita de noche, Sloper, 2012

Por otra parte, un número se dice que es práctico si todos los números naturales más pequeños que él pueden ser expresados como suma de distintos divisores del número. Así, el número 12 es un número práctico ya que todos los números menores que él, desde el 1 al 11, pueden ser expresados como suma de algunos de los divisores de 12. Veámoslo: los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6, luego 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 5 = 1 + 4, 6 = 2 + 4, 7 = 1 + 2 + 4, 8 = 2 + 6, 9 = 3 + 6, 10 = 4 + 6 y 11 = 1 + 4 + 6.

Los números prácticos menores que 100 son: 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90 y 96.

El concepto fue definido en 1948 por el matemático indio A. K. Srinivasan, números que en su opinión eran interesantes de estudiar por su relación con las subdivisiones del dinero, los pesos y las medidas. Aunque estos números ya fueron utilizados por el matemático italiano Fibonacci (Leonardo de Pisa, 1170 – 1240), en su obra Liber Abaci (Libro del Ábaco, 1202), en relación a las fracciones egipcias (véase la entrada de Marta Macho, Sobre fracciones egipcias).

Claramente, todas las potencias de 2 son prácticas, ya que dado 2n, se puede expresar cualquier número entre 1 y 2n – 1 como suma de potencias de 2, menores que 2n, que son sus divisores. Es solamente una cuestión de divisibilidad y el fundamento del sistema binario. Se conocen muchas propiedades de los números prácticos, como que existen infinitos, el producto de dos números prácticos es un número práctico, los números perfectos pares, luego de la forma 2p–1 (2p – 1), son prácticos, o que, salvo el 1 y el 2, todos los números prácticos son divisibles por 4 o 6, entre otras.

Instalación Forest of numbers – Bosque de números (2017), de la artista francesa Emmanuelle Moureaux. Imagen de su página web

Y no podían faltar los números raros, o extraños, que son aquellos que son abundantes, es decir, la suma de los divisores es mayor que el número, pero no se puede obtener el número exacto quitando algunos de los divisores, es decir, como suma de un subconjunto de divisores propios. Por ejemplo, el 12 es abundante, pero como 12 = 2 + 4 + 6, no es raro, y el número raro más pequeño es 70 (cuyos divisores son 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35).

Aunque se sabe que existen infinitos números raros, estos son relativamente escasos, por ejemplo, solamente hay 7 números raros menores que 10.000, que son 70, 836, 4.030, 5.830, 7.192, 7.912 y 9.272. Todos los números raros conocidos son pares y si existe alguno impar deberá ser, por lo menos, mayor que 1021.

Cerramos este repaso a algunas tribus numéricas con los números poderosos, que son aquellos tales que, si un número primo p es divisor suyo, también lo es su cuadrado p2, como el 36, cuyos divisores primos son 2 y 3, y sus cuadrados también son divisores de 36. Curiosamente, un número m es poderoso si, y sólo si, se puede expresar como m = a2b3, para algún par de números a y b. Claramente, si un número es de la forma a2b3 es poderoso (ya que los cuadrados de los primos de la descomposición en primos de a y b claramente dividen a a2b3), pero, además, todos los números poderosos son de esta forma. Veámoslo:

Por ejemplo, para el número m = 21.600 = 25 x 33 x 52, tendríamos que b = 2 x 3 = 6 y a = 2 x 5 = 10.

Existen algunos problemas interesantes sobre los números poderosos. Como se observa fácilmente, todo número impar es resta de dos cuadrados, luego de dos números poderosos, 2 k + 1 = (k + 1)2 – k2. Lo mismo ocurre con los múltiplos de 4, ya que 4 k + 4 = (k + 2)2 – k2.

Pero, ¿qué pasaba con los números pares no divisibles por 4, podían expresarse como resta de números poderosos? El matemático e ingeniero estadounidense Solomon W. Golomb (1932 – 2016), conocido por sus trabajos sobre juegos matemáticos, observó que algunos sí podían expresarse, como 2 = 33 – 52, 10 = 133 – 37 o 18 = 192 – 73 = 35 – 152, y conjeturó que el número 6 no podía expresarse como resta de números poderosos, así como infinitos otros números pares. El matemático polaco Władysław Narkiewicz demostró que el 6 no solo podía representarse de esta forma, 6 = 5473 – 4632, sino que existían infinitas formas de hacerlo. Más aún, en 1982, el matemático estadounidense Wayne L McDaniel extendió el resultado para todos los números pares, no divisibles por 4.

Por otra parte, Paul Erdös conjeturó, y fue demostrado por el matemático británico Roger Heath-Brown, que todo número natural suficientemente grande puede expresarse como suma de tres números poderosos.

Instalación “SOHO” (2008), del artista japonés Tatsuo Miyajima. Imagen de su página web

Bibliografía

1.- Clifford A. Pickover, El prodigio de los números. Desafíos, paradojas y curiosidades matemáticas, Ma Non Troppo (ediciones Robinbook), 2002.

2.- Clifford A. Pickover, La maravilla de los números. Un viaje por los secretos de las matemáticas, sus desafíos y caprichos, Ma Non Troppo (ediciones Robinbook), 2002.

3.- Lamberto García del Cid, Números notables. El 0, el 666 y otras bestias numéricas, El mundo es matemático, RBA, 2010.

4.- Howard H. Eves, Mathematical Circles, The Mathematical Association of America (MAA), 2003.

5.- Wikipedia: Perfect number

6.- David G. Kendall, The Scale of Perfection, Journal of Applied Probability, Vol. 19, Essays in Statistical Science, pp. 125-138, 1982.

7.- Eugen Jost, A postcard from Italy, Plus Magazine, 1999

8.- Wolfram Mathworld: Multiperfect number

9.- Wolfram Mathworld: Aspiring number

10.- Wikipedia: Amicable numbers

11.- Wikipedia: Betrothed or quasi amicable numbers

12.- Wikipedia: Untouchable number

13.- Wikipedia: Practical number

14.- Página web de la artista Emmanuelle Moureaux

15.- Wikipedia: Weird number

16.- Wikipedia: Powerful number

17.- Página web del artista japonés Tatsuo Miyajima

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

Fuente de la reseña: https://culturacientifica.com/2019/03/20/los-numeros-enamorados/

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Libro: Educación Emocional. Propuestas para educadores y familia (PDF)

Reseñas 1 comentario

España / Autor: Rafael Bisquerra (coordinador) / Fuente: rafaelbisquerra.com

«La educación emocional es una respuesta a las necesidades sociales: ansiedad, estrés, depresión, violencia, consumo de drogas, etc. Todo esto es manifestación del analfabetismo emocional. El objetivo es el desarrollo de competencias emocionales, entendidas como competencias básicas para la vida.

 

Este libro tiene un enfoque eminentemente práctico. Se presentan multitud de actividades y ejercicios para el desarrollo de competencias emocionales, dirigidas a la educación infantil, primaria, secundaria y familias.En diversos capítulos se tratan: miedo, ansiedad y estrés; regulación de la ira para la prevención de la violencia; la tristeza; inspirar la felicidad, etc. Hay un capítulo sobre música, emoción y motivación, con la presentación de una experiencia interdisciplinaria, que puede servir de modelo y ejemplo. Otro capítulo pone un énfasis especial en la educación emocional en la familia, con la presentación de propuestas para la práctica.La intención es contribuir a la difusión de la educación emocional, tanto en la educación formal como en la familia. Investigaciones recientes han demostrado sus efectos positivos en las relaciones interpersonales, en la disminución de la conflictividad, en el rendimiento académico y en el bienestar.»

 

Links para la descarga:

Educación Emocional. Propuestas para educadores y familias – Rafael Bisquerra Alzina (2)

ó

https://drive.google.com/file/d/1LPjPptmCs9lpCmKwrkb4r5JaeONOgjdD/view?fbclid=IwAR00MkEcSJGU5alzMnYfOp6O1q6u93dSmfWdKycqZ9mDw7EiEB7zm8Dzaxc

 

Fuente de la Reseña:

http://www.rafaelbisquerra.com/es/biografia/publicaciones/libros-basicos/150-educacion-emocional-propuestas-para-educadores-y-familias.html

ove/mahv

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¿Qué caracteriza a un docente que evalúa con enfoque formativo?

Reseñas

Por: docentesaldia.com.

 

El concepto de evaluación formativa sigue siendo objeto de algunas dudas en cuanto al enfoque y la implementación que se le debe dar en las escuelas. Es común que la evaluación, en muchas instituciones educativas, se siga limitando a proporcionar una calificación numérica, dejando de lado el aspecto formativo, es decir no se proporcionan devoluciones con fines de mejora.

Para evaluar desde el enfoque formativo es necesario realizar un seguimiento sistemático del aprendizaje de los alumnos, a partir de la recolección de evidencias relacionadas con su desempeño. Reunir dichas evidencias sin el análisis del desempeño y la propuesta de mejora, no es parte del enfoque formativo de la evaluación porque no contribuye al logro educativo.

Una evaluación formativa brinda

A los alumnos:

-información para tomar decisiones sobre su propio aprendizaje

-Compromiso para mejorar sus aprendizajes

A los docentes:

-Comprensión sobre los procesos de aprendizaje de los alumnos para poder así identificar los apoyos que éstos necesitan

A los padres de familia:

-Conocimientos sobre el nivel de logro de los aprendizajes de sus hijos

-Orientaciones para apoyarlos

A las autoridades escolares:

-Conocimiento sobre la implementación del currículo

-Estrategias para focalizar apoyos

¿Qué caracteriza a un docente que evalúa con base en el enfoque formativo?

El docente que evalúa desde el enfoque formativo, reflexiona constantemente acerca de los aprendizajes esperados; los criterios de evaluación; informa a los alumnos lo que quiere que aprendan y retroalimenta su trabajo; además de promover que supervisen su desempeño.

A continuación le presentamos un listado con las acciones o prácticas que suele llevar a cabo un docente que evalúa con base en el enfoque formativo:

-Organizar, planificar su trabajo, y evaluar lo que se enseña.

-Conocer, a partir de las evaluaciones, los avances de los alumnos y crear oportunidades de aprendizaje que conduzcan al logro de los aprendizajes esperados.

-Definir y compartir con sus alumnos los criterios de evaluación que se utilizarán, y ofrecer retroalimentación de su progreso en el aprendizaje para que los estudiantes conozcan su desempeño y cuenten con los elementos necesarios para mejorarlo.

-Analizar los resultados de sus evaluaciones para reflexionar y tomar decisiones conducentes a mejorar su práctica, de manera que incida en el mejor desempeño de sus alumnos.

-Informar a las autoridades escolares y a las madres, padres de familia o tutores el progreso en el logro de los aprendizajes de los alumnos, tanto en los momentos destinados para ello como cuando lo considera oportuno, con el fin de que todos contribuyan al logro de los aprendizajes esperados.

-Poseer una conducta ética y promover una práctica profesional.

-Contar con capacidad analítica y autocrítica.

-Realizar en el aula una práctica reflexiva.

-Actualizarse de forma continua.

-.Utilizar diferentes instrumentos para recolectar evidencias.

-Fortalecer competencias interpersonales, como algunas habilidades de comunicación con diferentes audiencias; tener buen manejo del tiempo; ser líder constructivo a lo largo del proceso; ser asertivo bajo presión; ser sensible para percibir conflictos, y ser negociador y construir relaciones sólidas con sus alumnos y otros docentes.

-Promover que el aula y la escuela sean los espacios destinados a la formación de los alumnos, la convivencia respetuosa y armoniosa.

-Promover en los alumnos la puntualidad, la asistencia y la limpieza en sus trabajos, pero no incorporar estos aspectos como parte de la evaluación.

¿En qué grado soy un docente que evalúa desde el enfoque formativo?

Es conveniente, de igual manera, realizar una autoevaluación que le permita identificar fortalezas y áreas de mejora en cuanto a la manera que usted evalúa en la actualidad. Para esto, le compartimos la siguiente lista de verificación, reflexione atentamente a cada acción descrita y valore si la está llevando a cabo al momento de evaluar.

Ejemplo de lista de verificación para autoevaluarse:

A partir de los resultados de este diagnóstico, se sugiere reflexionar acerca de los atributos que aún faltan por desarrollar.

La evaluación formativa es un elemento indispensable que todo profesor, independientemente del nivel en el que se desempeñe,  debe incorporar a su práctica. Como se ha señalado, permite la mejora en el aprendizaje de los alumnos, al mismo tiempo que favorece el perfeccionamiento de la intervención docente.

¡Esperamos que la información te haya sido de utilidad!

Referencia: El enfoque formativo de la evaluación, SEP, 2012

Fuente de la reseña:

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Uruguay: Estudiantes de secundaria plantean la existencia de baños género-neutrales en los liceos

Noticias

América del Sur/ Uruguay/ 15.04.2019/ Fuente: redclade.org.

 

Estudiantes de secundaria del Liceo nº 63 de Montevideo, Uruguay, se manifiestan para defender la existencia de baños género-neutrales “para todas las identidades, corporacidades y sexualidades” en su centro educativo.

Según las y los estudiantes, la iniciativa demanda baños género-neutrales en los liceos y cuestiona la división de los baños públicos para varones y mujeres, lo que en su mirada reproduce las heteronormatividades y el orden patriarcal excluyente de otras identidades.

Afirman también que esta medida es importante para profundizar las transformaciones sociales y culturales que reconocen a la libertad de elegir los géneros y sexualidades desde la autopercepción, y también para avanzar en el reconocimiento de la diversidad de hábitos, conductas e ideas presentes en las prácticas cotidianas, como el uso del baño.

El caso del Liceo nº 63 no es aislado, sino que es el último de una serie de centros educativos donde hubo movilizaciones similares de estudiantes de secundaria en los últimos años, en el país. Año a año, en el marco del mes de la diversidad, el Gremio de Estudiantes del Instituto Alfredo Vásquez Acevedo (IAVA) convoca al estudiantado a ir de pollera (falda) al liceo, incluyendo a los varones. Además de luchar contra los estereotipos de vestimenta, la manifestación reclamó durante años que los baños no estén asociados ni a varones ni a mujeres, objetivo que se alcanzó en el 2018.

Tsaia Silva, vocera del gremio, explicó a La Diaria que los baños del liceo deben ser “género-neutrales” y que no son afines a la denominación de “baños mixtos”, porque ello implica reconocer solamente a dos géneros, y consideran que hay personas – entre ellas estudiantes del IAVA – que no se sienten incluidas en ninguno de los dos. “Hay otra realidad y queremos seguir con la pancarta de la igualdad, la diversidad y la integración. Es un reclamo de muchas personas que no se sienten cómodas al ir al baño porque está establecido un género”, añadió.

Ante las manifestaciones de las y los estudiantes, la directora del Consejo de Educación Secundaria, Ana Olivera, afirmó al diario El Observador que se decidió por generalizar la garantía de baños inclusivos a todos los liceos del país. Aclaró que la idea no es que los baños de hombres y mujeres sea eliminado, sino que a los ya existentes se agregue el baño inclusivo, universal o unisex.

Para la directora, estas modificaciones en los edificios permitirán trabajar temas relacionados a género, sexualidad y respeto en los liceos.

Educación e igualdad de género

Las manifestaciones estudiantiles en Uruguay son ejemplos de cómo la cuestión de género se relaciona con la garantía del derecho a la educación en condiciones de igualdad, siendo un tema fundamental para el desarrollo humano y el respeto al derecho de las niñas, mujeres y personas LGBTI a una vida libre de violencia y discriminación.

Los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) incluyen metas y objetivos destinados a la eliminación de todas las formas de discriminación contra todas las mujeres y niñas, y el Marco de Acción para la Educación 2030 reconoce que “la igualdad de género está inextricablemente ligada al derecho a la educación”.

“Entendemos que es urgente eliminar las barreras ideológicas, culturales y estructurales para la garantía de la igualdad entre los géneros y superar la discriminación y violencia por razón de género en y desde la educación”, defiende la Campaña Latinoamericana por el Derecho a la Educación (CLADE).

Fuente de la noticia: https://redclade.org/noticias/uruguay-estudiantes-banos-genero-neutrales/

 

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Perú: Se aprueba Política de Igualdad de Género y Corte Suprema decide a favor de currículo escolar con perspectiva de género

Noticias

América del Sur/ Perú/ 15.04.2019/ Fuente: redclade.org.

 

La última semana fue de importantes logros para la igualdad de género en el Perú. Por una parte, el gobierno del país publicó el Decreto Supremo N° 008-2019, que aprueba la Política Nacional de Igualdad de Género. Por otro lado, la Corte Suprema de Perú declaró, en última instancia, que una demanda de acción popular que había sido interpuesta por grupos conservadores, contra el enfoque de género en el currículo nacional de educación básica, es “infundada en todos sus extremos”.

Desde la aprobación del Currículo Nacional para la Educación Básica (CNEB), en junio de 2016, el Ministerio de Educación peruano venía siendo cuestionado por grupos conservadores que demandaban la abolición del plan de estudios y el cese de su implementación. El 16 de febrero de 2017, uno de estos grupos presentó al Poder Judicial una demanda de acción popular constitucional, que tenía por objeto detener la implementación del CNEB y eliminar la palabra “género” del currículo. Más de dos años después, finalmente la Corte Suprema decidió en última instancia que esta acción popular es infundada, y que el nuevo currículo deberá ser implementado.

“Es una medida sumamente importante, primero porque nos devuelve la seguridad jurídica que grupos opositores habían puesto en duda. El mensaje de la Corte es sumamente positivo. Lo que queda al Ministerio de Educación es superar los embates del retraso de compromisos que tienen que ver con la publicación de libros, pero también con lo que significa devolver la certeza a los profesores de que no está en discusión el enfoque de género en la educación”, afirma Susana Chávez, directora de Promsex, ONG feminista dedicada a la defensa de los derechos sexuales y reproductivos en Perú.

A su vez, Liliam Hidalgo Collazos, presidenta de Tarea – Asociación de Publicaciones Educativas – e integrante del Colectivo Educación e Igualdad de Perú, considera que la sentencia de la Corte ha dejado asentada la potestad del Ministerio de Educación en la rectoría de las políticas públicas educativas. De acuerdo con ella, el fallo abre también la posibilidad de trabajar, con todo el respaldo de la ley, el enfoque de género de manera transversal en todo el sistema educativo. “Es decir, en la formación docente, en los materiales, en la gestión escolar, en la normativa, etc. Pero, sobre todo, va a permitir experiencias educativas donde las oportunidades sean iguales para hombres y mujeres, en condiciones para que las niñas y mujeres puedan ejercer sus derechos cuando exista una situación de desigualdad, y con respeto a las personas sin importar su procedencia, lengua, género u orientación sexual”, añadió.

Ricardo Cuenca, Investigador del Instituto de Estudios Peruanos (IEP), considera que el fallo de la Corte coloca al país en el camino correcto para lograr ser una mejor sociedad, en la que se garantice el derecho a la educación de todas y todos, sin discriminación. “Ningún interés particular puede estar por encima de los intereses públicos, colectivos. Con este fallo, el poder judicial confirma que quien decide lo que se enseña en las escuelas no son grupos particulares, sino el Estado buscando el mayor bienestar posible para todos en el país, y el desarrollo de una educación basada en derechos, con calidad y justicia social”, afirmó.

Nueva Política Nacional de Igualdad de Género

Según dicho decreto publicado la semana pasada, se trata de una política nacional multisectorial que se propone atacar tanto los factores causales, como los efectos de la discriminación estructural contra las mujeres. Su rectoría, seguimiento y evaluación se encuentra a cargo del Ministerio de la Mujer y Poblaciones Vulnerables, y su aplicación será inmediata para todas las entidades de la administración pública.

Sus seis objetivos prioritarios son: reducir la violencia hacia las mujeres; garantizar el ejercicio de los derechos a la salud sexual y reproductiva de las mujeres; garantizar el acceso y participación de las mujeres en espacios de toma de decisiones; garantizar el ejercicio de los derechos económicos y sociales de las mujeres; reducir las barreras institucionales que obstaculizan la igualdad en los ámbitos público y privado entre hombres y mujeres; y reducir la incidencia de los patrones socioculturales discriminatorios en la población.

En lo que se refiere a la educación, la política plantea la promoción de una convivencia escolar democrática y la prevención de la violencia contra niñas, niños y adolescentes en las instituciones educativas; la orientación e información en educación sexual integral (ESI), con pertinencia cultural, dirigida a niñas y niños, adolescentes, padres y madres, tutores/as y cuidadores/as, al igual que formación en EIS a estudiantes de educación básica.

Asimismo, tiene como objetivos: la formación de mujeres en carreras tradicionalmente masculinizadas y/o mejor remuneradas, con enfoque de género, que fomente el acceso, permanencia y titulación; y el desarrollo de programas para la igualdad de género en la educación básica, de manera adaptable y con enfoque intercultural, así como programas de formación inicial y continua a docentes con enfoque de igualdad de género.

“Este logro nos genera posibilidades de seguir fortaleciendo la política pública. Esto también da cuenta de la profunda debilidad de quienes se oponen, pues los argumentos para rechazar el enfoque de género en la educación han sido sumamente débiles, muchos de ellos basados en seudociencias y descuidados de la interpretación de los datos, negando aquellos que tienen implicancias muy graves en temas de violencia, feminicidios, violaciones sexuales y acoso laboral”, dice Susana.

A su vez, Liliam destaca que esta política es un precedente importante y debe suponer el empoderamiento de las niñas, adolescentes y mujeres que, por haber participado en experiencias educativas de respeto, valoración y generación de pensamiento crítico, podrán ejercer una ciudadanía plena.

“Me gustaría subrayar la relación del enfoque de género con la formación de pensamiento crítico, dado que supone un ejercicio constante de cuestionamiento de lo que es dado. Otra implicancia es la posibilidad de articulación intersectorial con las políticas que vienen de otros sectores, en especial con aquellas que van en defensa de la mujer, de manera que el enfoque integral permita que la salud, la justicia y la educación intervengan en la efectiva erradicación de los patrones sociales que permiten hasta hoy estas desigualdades, y cuyas raíces son multisectoriales”, afirma la presidenta de Tarea.

Según Ricardo Cuenca, la política abre la posibilidad de que, como en el caso del sector educación, otros sectores sociales puedan colocar claramente el enfoque de género en sus propios ámbitos, por ejemplo en salud, justicia, protección social y sectores productivos, como agricultura, pesca, transportes, etc. “Si bien las leyes no modifican, al menos en el corto plazo, los problemas estructurales, es fundamental contar con un marco jurídico que facilite estos cambios. A las normas se le tiene que sumar mucho ejercicio ciudadano, participación de varios actores, campañas de comunicación a corto plazo, políticas públicas y programas de mediano plazo”, añadió.

Desafíos hacia la realización de estas políticas para la educación con igualdad de género

“El desafío es muy grande, pues los países de nuestra región, y Perú no es excepción, se precian por tener normas avanzadas, pero no necesariamente expeditas para su cumplimiento. El proceso de aplicación es lento y va a requerir muchísimos esfuerzos. Una de las principales dificultades es la inversión para que los funcionarios erradiquen la violencia institucional y establezcan procesos de transparencia y estándares de calidad. Hay interferencias políticas que niegan los procesos de calificación de los directores, por ejemplo, amenazando – a través de una ley en el Congreso – reintegrar a directores que han sido descalificados por no ser competentes. El avance en una parte no garantiza el detener las amenazas que puedan presentarse en sentidos distintos. Allí es que tenemos que hacer esfuerzo como sociedad civil para que la vigilancia no disminuya. Estos dos años de lucha intensa han sido procesos de aprendizajes muy ricos para las organizaciones de la sociedad civil, que hemos estado muy cerca al sector educación. Pero, aun tenemos en el camino madres y padres que desconfían del proceso educativo con perspectiva de género, y es algo que se tiene que conquistar en base al mejoramiento de la calidad de las escuelas que esperamos” (Susana Chávez, de Promsex).

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“Para implementar el enfoque de género en el currículo, el reto es transitar de un discurso políticamente correcto a una práctica efectiva en todos los espacios educativos. O sea, tomar las decisiones necesarias para que los cambios se den en las aulas efectivamente. Para ello, es necesario mudar varias esferas del sistema. En principio, la formación docente, tanto la formación inicial cuanto la formación continua. También es necesario revisar los materiales que estamos produciendo, revisar las normativas y hacer transformaciones en la gestión escolar. Sobre todo, la intención es transformar las relaciones que se dan entre las personas, funcionarias y funcionarios, de todos los niveles, los directivos, las y los docentes, las familias, así como las y los estudiantes.

Esto va a ocurrir si se generan y modifican políticas internas. Por ejemplo, hay la necesidad de crear la política para la elaboración de materiales educativos en el país. Hay la necesidad de cambiar las políticas para la formación de docentes, de modo que el enfoque de género esté totalmente presente. Es necesario también que se asigne el presupuesto suficiente” (Liliam Hidalgo, de Tarea).

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“No es posible un cambio de esta magnitud sin trabajar con las y los docentes, sin tener un diagnóstico claro de lo que piensan y sienten respecto a la igualdad de género. Esto es fundamental para poder diseñar un programa específico que busque generar en los y las docentes un compromiso con el tema y el desarrollo de pedagogías que permitan trabajar en las aulas el enfoque de género. También considero fundamental trabajar con los padres y las madres de familia para desarrollar ideas más claras respecto del enfoque de género. Con esto se debería minimizar los temores de los padres y las madres, colocando el tema de género en perspectiva de ciudadanía y ejercicio de derechos” (Ricardo Cuenta, del IEP).

Fuente de la noticia: https://redclade.org/noticias/peru-politica-genero/

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Argentina: Falleció Alicia Nuarte, una luchadora docente mendocina

Noticias

Argentina / 14 de abril de 2019 / Autor: Lautaro Jiménez / Fuente: La Izquierda Diario

Alicia Nuarte, maestra de artes plásticas de Godoy Cruz, luchadora del Sute y militante trotskista, falleció este domingo tras enfrentar una dura enfermedad. El próximo sábado se realizará un homenaje.

Alicia Nuarte fue una querida maestra de artes plásticas de Godoy Cruz, luchadora del SUTE y militante trotskista. Falleció ayer tras atravesar una dura enfermedad y un cáncer que terminó con su vida. Había militado varios años en el POR, donde se formó en las ideas del marxismo. Luego de esta experiencia, compartió una valiosa colaboración con el PTS en la lucha docente de Mendoza.

Quienes tuvimos la suerte de estar con ella en esta valiosa experiencia militante llena de debates, amistad e ideas dentro del SUTE, la recordaremos siempre por su alegría y sus fuertes convicciones sobre las ideas revolucionarias.

El sábado pasado, internada gravemente en el Hospital, pidió que le llevasen una bandera de la Cuarta Internacional, demostrando su fuerte convicción por la lucha socialista y revolucionaria que la acompañó hasta el final de su vida. El próximo sábado sus amigos están organizando un homenaje en el SUTE. Desde el PTS enviamos un fuerte abrazo a su familia y amigos más cercanos.

Hasta el socialismo siempre Alicia!

 

Fuente de la Noticia:

https://www.laizquierdadiario.com/Fallecio-Alicia-Nuarte-una-luchadora-docente-mendocina
ove/mahv
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