El colegio Lope de Vega implanta el método ABN que permite aprender la más temida de las asignaturas de una forma natural e intuitiva.
Un supermercado en clase, operaciones matemáticas en regletas por todos los rincones del aula —incluso en los cristales de la ventanas y en el suelo—, dinero de mentira aunque muy real, palillos (muchos palillos, agrupados, sueltos…), alumnos moviéndose libremente por el aula para hacer los ejercicios que quieren y un gran esfuerzo de los docentes para conseguir que la tan temida asignatura por todos los estudiantes se convierta en algo «sencillo, natural, razonado, intuitivo y adaptado a la vida real». Así funcionan ahora las clases de matemáticas en el Colegio Lope de Vega. El año pasado se hizo un proyecto piloto durante un mes de la mano del profesor Carlos González Flórez y este año, los alumnos de segundo de Primaria se han sumergido en este nuevo modelo educativo nacido en Cádiz. El resultado, que todos los pequeños, tengan el nivel académico que tengan, se diviertan, aprendan y estén motivados y que muchos ya estén trabajando contenidos que tendrían que dar a finales de tercero, cuando aún están en segundo curso. La consecuencia, que cuando van a la compra con sus padres ellos mismos resuelven rápidamente cuánto les tienen que devolver, agilidad mental y que las matemáticas se hayan convertido en un juego al que todos quieren dedicar hasta los recreos en los días de lluvia.
El primer paso y fundamental, trabajar con palillos, que los niños deben agrupar ellos mismos por decenas. Ir conociendo las cantidades y «manipulando los números» pero siempre trabajando con ejemplos concretos y con problemas basados en la vida real, las operaciones nunca están descontextualizadas, si no que los alumnos también aprenden a plantear sus problemas para después resolverlos. Los pequeños juegan con «los números amigos del 10, los del 100, los del mil…» y van descomponiendo todas las cantidades, cada uno a su manera, para llegar al mismo resultado.
«Con el ABN los niños no aprenden de forma mecánica» defienden Cecilia Carro y María José Núñez, las dos maestras de segundo de Primaria y directora y secretaria del centro, para añadir: «Se trata de que engancharles a las matemáticas de forma que las entiendan, lo hacen a través de su realidad, de problemas que ellos plantean». «Es más divertido que lo que hacíamos el año pasado», sentencia Aarón, que comparte mesa en esta ocasión con María, Pedro y Martina, mientras que en otra mesa están Jonathan, Valeria, Sokhna, Karim, Nerea y Javier y Rodrigo se pasea por la clase hasta llegar a la pizarra digital, donde empieza su trabajo tras abandonar la tabla de multiplicar manipulativa. El resultado del proyecto ha sido tan bueno que ahora, estos pequeños del Lope de Vega se han convertido en maestros de maestros y ya han dado un curso a docentes de UGT y darán otro en breve en el Centro de Formación del Profesorado de León. Ellos están orgullosos, porque incluso superan en cálculo a estos profesores.
Fuente de la reseña: https://www.diariodeleon.es/noticias/leon/desmontando-matematicas_1322991.html
Me puse como tarea tratar de que una adolescente guste de la filosofía, la biología, la historia, los acontecimientos sociales, la química y las matemáticas. Es decir, lo que se supone que debe aprender en su paso por el bachillerato. Y como estoy convencida de que el aprender no debe ser una penitencia sino un deleite, debe estar arraigado en la vida y debe dar un sentido a sus preguntas e inquietudes, me sumergí en algunos de sus libros de texto para comprenderlos y conversar sobre sus contenidos.
De entrada desisto de las matemáticas, creo que debo comenzar con textos de octavo de básica más o menos para ponerme al día.
También dejé de lado rápidamente los textos de la filosofía, me pareció mejor que leyera El mundo de Sofía, de Gaarder, una novela sobre la historia de la filosofía, que nos permitió tardes enteras de preguntas, risas, inquietudes y misterio. Yo suelo subrayar, escribir, poner comentarios de colores en las páginas de cuanto libro leo, ella le pone papeles pegados, donde escribe frases que le impactan o sus comentarios. Así encontré, por ejemplo: la creación es una locura. Hay cosas que la razón no explica. Los artistas son clones de Dios. “En una pequeña charca cálida nació la vida” Darwin. “La vida es el día que no acaba jamás”. Las matemáticas tienen que ver con Dios… ¿Qué es la física cuántica? Pero hubo una frase que me impactó. “Todo está relacionado”.
En las notas de exámenes no le fue muy bien, pero descubrió ejes fundamentales para su vida…
Llegó el turno del libro de texto de segundo de bachillerato de Biología. El ADN, la esencia de la vida fue la unidad que más me interesaba profundizar y pretendía que también le interesara a ella, pero se perdió en “el ácido desoxirribonucleico que se encuentra formado por una base nitrogenada, timina, adenina, citosina, guanina, que se complementa para dar origen a un grupo fosfato”… que después de algunos avatares contiene la información genética de todas las especies y hacen que estas se perpetúen, mientras que el ARN (que cambió un ingrediente del ADN) transmite la herencia… Me declaré incapaz, y en lugar de memorizar nombres imposibles que se aprenden para un examen y luego se olvidan a menos que escoja ser médico, comencé a preguntar, ¿por qué los hermanos con los mismos padres y madres son diferentes entre sí? ¿Por qué a veces se nace con discapacidades y otros sacamos la lotería de nacer más o menos con todo en su lugar? ¿Por qué nacen gemelos? ¿Qué es la fecundación in vitro? ¿Pueden las parejas homosexuales tener hijos? ¿Cuándo comienza la vida? ¿La sola mezcla de células es ya vida? Si las células de nuestro cuerpo nacen y mueren, ¿cómo seguimos siendo los mismos? ¿Qué es lo que mantiene nuestra identidad? ¿Quiénes realmente somos? ¿Tienen alma o espíritu o algo semejante los animales? ¿Y las plantas, ya se sabe que se comunican entre ellas, también tienen eso que llamamos “alma”? Y comenzamos a mezclar biología, química, filosofía, ética, matemáticas, política, historia, lenguas y cultura. Lo que nos pareció genial fue saber que cuando un segmento de cromosoma de un chimpancé dio un giro de 180 grados y se unió de otra manera, ahí aparecimos los humanos. Así que un desobediente, que hizo algo que no debía hacer, es nuestro origen más remoto… De qué sacar consecuencias… Resultado: la vida es una belleza, un milagro, todos estamos relacionados… Y es inesperada…
Solo que esa comprensión no entra en las evaluaciones que se hacen en los colegios.
Fuente del artículo: https://www.eluniverso.com/opinion/2019/04/10/nota/7277696/alegria-aprender#cxrecs_s
El artista futurista italiano Giacomo Balla (1871-1958) pintó una obra titulada Los números enamorados en 1924, asociando una cualidad humana, como es el enamoramiento, a los números. También en el ámbito de las matemáticas nos gusta asociar a los números, en particular, a los números naturales, cualidades humanas. Existen números amigos, sociables, novios, narcisistas, felices, tristes, hambrientos, intocables, ambiciosos, afortunados, poderosos, malvados, odiosos, prácticos o raros, pero también, con otras denominaciones curiosas, como números vampiros, parásitos, perniciosos, apocalípticos, perfectos, poligonales, cíclicos, automorfos, sublimes, abundantes, escasos o intocables.
Algunas de estas familias de números deben su propiedad definitoria al comportamiento de sus divisores propios, es decir, entre los divisores no se considera al propio número. Son a estas familias de números naturales a las que vamos a dedicar la entrada de hoy de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica.
Empecemos con unas familias de números con un origen muy antiguo. Un número se dice que es perfecto si es igual a la suma de sus divisores (propios), como ocurre con los números 6 = 1 + 2 + 3 y 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Se los denominó perfectos porque en tiempos antiguos se dio a esta propiedad una interpretación divina. Por ejemplo, San Agustín relaciona el hecho de que Dios crease el mundo en 6 días, con la perfección de este número.
Los siguientes números perfectos, después de 6 y 28, conocidos ya desde la antigüedad, son
Se desconoce el origen exacto de los números perfectos, aunque ya eran conocidos por los matemáticos griegos. Euclides de Alejandría (aprox. 325 – 265 a.n.e.) los estudia en su obra Los Elementos, aunque antes los había estudiado Pitágoras (aprox. 570 – 495 a.n.e.), e incluso podrían haber sido conocidos por los egipcios.
Euclides demostró que para algunos números primos p, los números de la forma 2p–1 (2p – 1) son perfectos, por ejemplo, para p = 2, 3, 5, y 7, se obtienen los perfectos anteriores. Dos milenios después, el matemático suizo Leonhard Euler (1707 – 1783) demostraría que todos los números perfectos pares son de esta forma, con (2p – 1) un número primo.
El quinto número primo encontrado fue 33.550.336, para p = 13, que aparece en un manuscrito del siglo XV. El sexto y séptimo –para p = 17 y 19– fueron descubiertos por el matemático italiano Pietro Cataldi (1548 – 1626) en 1588, en concreto, 8.589.869.056 y 137.438.691.328. Y Euler, en 1772, descubrió el octavo, que es 230 (231 – 1) = 2.305.843.008.139.952.128.
Obtener números perfectos es una tarea muy difícil, luego podemos decir que “la perfección es difícil de conseguir”. Antes del siglo XX solo se conocían 9 números perfectos. El noveno fue obtenido, para p = 61, por el matemático ruso Iván Pervushin (1827 – 1900), en 1883. De hecho, en la fórmula de Euclides-Euler no basta con que p sea primo, ya que para p = 11, 211 – 1 = 2.047 = 23 x 89, no es primo, con lo cual 210 (211 – 1) no es perfecto.
Con la ayuda de los ordenadores ha sido posible calcular muchos más, pero no demasiados. Solo se conocen, hasta la fecha, 51 números perfectos. El último descubierto, en 2018, fue el correspondiente al primo p = 82.589.933.
Se desconoce si existe un número infinito o finito de números perfectos. Además, todos los números perfectos conocidos son pares, y no se sabe si existen impares. Lo que se ha conseguido demostrar es que de existir tendrían que cumplir una serie de propiedades, como tener al menos 9 divisores primos distintos o ser mayores que 101.500, entre muchas otras.
Veintiocho (modelo para una escultura pública), 1992, del artista estadounidense Jonathan Borofsky. Imagen de su página web
Ya los griegos dividieron a los números naturales que no son perfectos en dos categorías, los abundantes y los deficientes. Los números que no son perfectos pueden ser abundantes, cuando el número es menor que la suma se los divisores, como el 12 deficientes en el caso contrario, como el 14 > 1 + 2 + 7 = 10 o todos los números primos, cuyo único divisor propio es el 1. Estos conceptos, como la perfección, formaron parte de la numerología griega.
El religioso, teólogo y matemático anglosajón Alcuino de York (735 – 804) relacionaba la “segunda creación” de Dios, el diluvio universal y el Arca de Noé, con el número 8, ya que la humanidad desciende de las 8 almas que se salvaron del diluvio refugiándose en el Arca de Noé. Por lo tanto, esta es una creación imperfecta, puesto que el número 8 es deficiente, 8 > 1 + 2 + 4.
Los números llamados abundantes no son, sin embargo, tan abundantes como su nombre indica. Existen 245 números abundantes menores que 1.000, aunque solo uno de ellos impar, el número 945 = 33 x 5 x 7, los demás son pares, y solo 3 números perfectos (por supuesto, pares), el resto son deficientes. Entre los primeros 50.000 números hay 37.602 deficientes, 4 perfectos y 12.394 abundantes. Entre estos 12.394 números abundantes, solo 114 son impares.
Así como lo bello y lo excelente es raro de encontrar y se cuenta pronto, pero lo feo y lo malo siempre es prolífico, así también los números abundantes y deficientes resultan ser muchos y en desorden, y su descubrimiento no obedece a sistema alguno. Pero los perfectos, son a un tiempo escasos en número y se hallan dispuestos en un orden apropiado.
Nicómaco de Gerasa (aprox. 60 – 120 n.e.), Introducción a la Aritmética
Imagen 3 (Pie de imagen: You know my name (look up the number), acrílico sobre papel, 63 x 90 cm, del artista suizo Eugen Jost. Entre las sucesiones de números que aparecen, están los primeros números perfectos. Imagen de Plus Magazine[https://plus.maths.org/content/postcard-italy])
Entre los números abundantes, es decir, aquellos que son menores que la suma de sus divisores, se considera que son números casi perfectos aquellos tales que la suma de sus divisores es uno menos que el número. Así, el 16 es un número casi perfecto ya que 1 + 2 + 4 + 8 = 15. De hecho, todas las potencias de 2 son casi perfectas:
Los únicos números casi perfectos que se conocen son las potencias de 2, y es un problema abierto demostrar que estos son los únicos que existen.
Otra familia de números relacionada con la perfección, son los números múltiplo-perfectos omulti-perfectos, aquellos tal que la suma de sus divisores (recordemos que todo el tiempo estamos refiriéndonos a los divisores propios) no es el número, sino un múltiplo del mismo. Por ejemplo, los divisores del número 120 = 23 x 3 x 5 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 y 60, cuya suma es 240 = 2 x 120. Solo se conocen 6 números multi-perfectos cuya suma sea el doble del número, 120, 672, 523.776, 459.818.240, 1.476.304.896, 51.001.180.160, y todos son pares. O, se conocen 36 cuya suma es el triple, de nuevo todos pares, de los cuales el más pequeño es 30.240.
Hardy’s Taxi, acrílico sobre lienzo, 60 x 60 cm, del artista suizo Eugen Jost. Obra perteneciente a la exposición Everything is number
Más aún, un número se dice que es ambicioso si puede llegar a ser perfecto de la siguiente forma. Dado el número se toma la suma de sus divisores, con este nuevo número se vuelve a considerar la suma de sus divisores, y se continúa así, de forma que el número es ambicioso si llega un momento que se alcanza un número perfecto, como en el caso del número 95, cuyos divisores suman 1 + 5 + 19 = 25, y los divisores de este suman 1 + 5 = 6, que es perfecto. Números no ambiciosos son el 24 o los números primos (cuyo único divisor es el 1).
Veamos que el 24 = 23 x 3 no es ambicioso. Sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12, cuya suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36. Ahora, los divisores de 36 = 22 x 32 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 y 18, cuya suma es 55. Ahora este número, 55 = 5 x 11, tiene solo tres divisores 1, 5 y 11, cuya suma es 17, que es primo, luego su único divisor es 1 y se estaciona la sucesión. En consecuencia, el 24 no es ambicioso. Solo se conocen 16 números ambiciosos, 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, e incluso un número tan bajo como 276 se desconoce si es, o no, ambicioso (aunque seguramente no).
Y también relacionados con la perfección están los números sublimes, aquellos tales que tanto el número de sus divisores (incluido ahora el propio número), como la suma de los mismos son perfectos, como el 12, que tiene 6 divisores y su suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, aunque solo se conoce otro número sublime más, que es el siguiente
Números amigos (2010), del artista británico Andrew Crane
A continuación, vamos a introducir parejas de números con una fuerte conexión entre ellos, desde la perspectiva que estamos analizando en esta entrada. Empecemos por el número 284, que se puede escribir como la multiplicación de los números primos 71 y 2 de la siguiente forma 284 = 71 x 22. Por lo tanto, los divisores propios del 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, cuya suma es
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Si ahora consideramos el número que nos ha salido, 220, y buscamos sus divisores, como 220 = 11 x 5 x 22, entonces estos son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, y la suma de ellos es
precisamente el primer número. Por este motivo, se dice que los números 220 y 284 son números amigos. Es decir, dos números son amigos si la suma de los divisores (propios) del primero es igual al segundo, y viceversa.
Este par de números amigos (220, 284) ya era conocido por los pitagóricos, quienes les atribuían propiedades místicas. En general, en la antigüedad se pensaba que estos números tenían poderes místicos, y eran utilizados en textos religiosos y de magia, en particular, en relación al amor y la amistad. Los astrónomos griegos los incorporaron en sus horóscopos, talismanes y amuletos.
“Las personas expertas en los talismanes afirman que los números amigos 220 y 284 ejercen una fuerte influencia para establecer una unión o una amistad muy fuerte entre dos personas”
Ibn Jaldún (1332-1406), Muqaddima (prolegómenos), 1377
Cuenta una leyenda que había un sultán aficionado a los puzzles, que al descubrir que tenía a un matemático como prisionero, decidió plantearle la siguiente cuestión. El sultán le dijo al matemático que le planteara un reto, un problema, y que estaría libre durante el tiempo que él necesitara para resolverlo, pero una vez resuelto por el sultán, el matemático sería ejecutado.
El matemático le explicó que los números 220 y 284 son números amigos, y le planteó que buscara otro par de números amigos. El sultán no lo consiguió y el matemático murió de viejo y siendo un hombre libre.
De hecho, calcular más pares de números amigos no es una tarea sencilla. Muchos matemáticos árabes estudiaron los números amigos, entre los siglos IX y XIV, como el iraquí Thabit ibn Qurra (826 – 901) quien dio una fórmula para obtener números amigos. En particular, se obtuvieron dos nuevos pares de números amigos
(17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056).
En el siglo XVII los grandes matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601 – 1665) y René Descartes (1596 – 1650) redescubrieron la fórmula del matemático árabe, así como los dos anteriores pares de números amigos, que es ocasiones son atribuidos a ellos. Otro gran matemático ya mencionado, Leonhard Euler, extendió la fórmula de Qurra y obtuvo 64 nuevos pares de números amigos.
Curiosamente, a todos ellos se les pasó el siguiente par de números amigos más pequeño, después de (220, 284), el par (1.184, 1.210), descubierto por el adolescente Nicolo Paganini, de 16 años, en 1866.
La tarea siguió siendo compleja y hasta 1946 solo se consiguieron descubrir 390 pares de números amigos, hasta que llegó la era de los ordenadores, y su potencia de cálculo, que, junto a nuevos algoritmos, ha permitido calcular (según la wikipedia) hasta marzo de 2019 exactamente 1.223.386.359 parejas de números amigos. Sin embargo, a día de hoy no se sabe aún si existen infinitos pares de números amigos.
Anillos hexagonales, con oro amarillo y oro rosa, con la pareja de números amigos 220 y 284, de la tienda londinense Comford Station, y la caja con la explicación de la pareja de números amigos
Otro nexo de unión entre números. Se dice que dos números son novios o casi-amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de sus divisores menos 1, como el 48 = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 – 1 y el 75 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 – 1. Las primeras parejas de números novios son (48, 75), (140, 195), (1.050, 1.925), (1.575, 1.648), (2.024, 2.295) y (5.775, 6.128). Los números de todas las parejas de novios conocidas tienen paridad opuesta, es decir, uno es par y el otro impar.
La propiedad de amistad puede generalizarse a un grupo de números, de forma que la suma de los divisores de cada uno es igual al siguiente, y la del último igual al primero, entonces se habla de números sociables. El grupo de números más pequeños que son sociables son 12.496, 14.288, 15.472, 14.536 y 14.264. Comprobémoslo:
1) 12.496 = 24 x 11 x 71, divisores: 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 71, 88, 142, 176, 284, 568, 781, 1.136, 1.562, 3.124 y 6.248, cuya suma es 14.288;
2) 14.288 = 24 x 19 x 47, divisores: 1, 2, 4, 8, 16, 19, 38, 47, 76, 94, 152, 188, 304, 376, 752, 893, 1.786, 3.572 y 7.144, cuya suma es 15.472;
3) 15.472 = 24 x 967, divisores: 1, 2, 4, 8, 16, 967, 1.934, 3.868 y 7.736, cuya suma es 14.536;
4) 14.536 = 23 x 23 x 79, divisores: 1, 2, 4, 8, 23, 46, 79, 92, 158, 184, 316, 632, 1.817, 3.634 y 7268, cuya suma es 14.264;
5) 14.264 = 23 x 1.783, divisores: 1, 2, 4, 8, 1.783, 3.566 y 7.132, cuya suma es 12.496.
Se conocen 5.410 grupos de números sociables (véase la lista de números sociables de David Moews), la mayoría formados por 4 números, aunque existe un grupo formado por 28 números.
También existen intocables dentro de la familia de los números naturales, son aquellos que no se pueden expresar como suma de los divisores de ningún número. El número 2 es intocable, el 3 no lo es (3 = 1 + 2, divisores del 4), el 4 tampoco (4 = 1 + 3, divisores del 9) y el 5 sí, ya que solo puede expresarse como 1 + 4, pero si el 4 es divisor del número, también lo es el 2 y la suma sería al menos 7. El siguiente intocable es el 52.
El matemático húngaro Paul Erdös (1913-1996) demostró que existen infinitos números intocables.
“Dice Trece [la protagonista se refiere con números a los hombres que han pasado por su vida] que le ha hecho esos dos regalos –el libro [de Murakami] y lo del segundo cajón [un consolador]– para que se acuerde de él. Sin embargo, por la esencia oriental de uno y las dimensiones del otro, lo que Trece ha conseguido es que Pi, en lugar de acordarse de él, se acuerde de Dos. Por ambas razones.
Dos se ha convertido en una medida (de hecho, es un número intocable, pues no es la suma de los divisores de ningún número). No tiene tanta importancia como persona real en el presente […] sino como recuerdo y, sobre todo, como convención, como medida. Dos es la medida del sistema métrico sentimental”
Juan Pardo Vidal, La luz de la mesita de noche, Sloper, 2012
Por otra parte, un número se dice que es práctico si todos los números naturales más pequeños que él pueden ser expresados como suma de distintos divisores del número. Así, el número 12 es un número práctico ya que todos los números menores que él, desde el 1 al 11, pueden ser expresados como suma de algunos de los divisores de 12. Veámoslo: los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6, luego 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 5 = 1 + 4, 6 = 2 + 4, 7 = 1 + 2 + 4, 8 = 2 + 6, 9 = 3 + 6, 10 = 4 + 6 y 11 = 1 + 4 + 6.
El concepto fue definido en 1948 por el matemático indio A. K. Srinivasan, números que en su opinión eran interesantes de estudiar por su relación con las subdivisiones del dinero, los pesos y las medidas. Aunque estos números ya fueron utilizados por el matemático italiano Fibonacci (Leonardo de Pisa, 1170 – 1240), en su obra Liber Abaci (Libro del Ábaco, 1202), en relación a las fracciones egipcias (véase la entrada de Marta Macho, Sobre fracciones egipcias).
Claramente, todas las potencias de 2 son prácticas, ya que dado 2n, se puede expresar cualquier número entre 1 y 2n – 1 como suma de potencias de 2, menores que 2n, que son sus divisores. Es solamente una cuestión de divisibilidad y el fundamento del sistema binario. Se conocen muchas propiedades de los números prácticos, como que existen infinitos, el producto de dos números prácticos es un número práctico, los números perfectos pares, luego de la forma 2p–1 (2p – 1), son prácticos, o que, salvo el 1 y el 2, todos los números prácticos son divisibles por 4 o 6, entre otras.
Instalación Forest of numbers – Bosque de números (2017), de la artista francesa Emmanuelle Moureaux. Imagen de su página web
Y no podían faltar los números raros, o extraños, que son aquellos que son abundantes, es decir, la suma de los divisores es mayor que el número, pero no se puede obtener el número exacto quitando algunos de los divisores, es decir, como suma de un subconjunto de divisores propios. Por ejemplo, el 12 es abundante, pero como 12 = 2 + 4 + 6, no es raro, y el número raro más pequeño es 70 (cuyos divisores son 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35).
Aunque se sabe que existen infinitos números raros, estos son relativamente escasos, por ejemplo, solamente hay 7 números raros menores que 10.000, que son 70, 836, 4.030, 5.830, 7.192, 7.912 y 9.272. Todos los números raros conocidos son pares y si existe alguno impar deberá ser, por lo menos, mayor que 1021.
Cerramos este repaso a algunas tribus numéricas con los números poderosos, que son aquellos tales que, si un número primo p es divisor suyo, también lo es su cuadrado p2, como el 36, cuyos divisores primos son 2 y 3, y sus cuadrados también son divisores de 36. Curiosamente, un número m es poderoso si, y sólo si, se puede expresar como m = a2b3, para algún par de números a y b. Claramente, si un número es de la forma a2b3 es poderoso (ya que los cuadrados de los primos de la descomposición en primos de a y b claramente dividen a a2b3), pero, además, todos los números poderosos son de esta forma. Veámoslo:
Por ejemplo, para el número m = 21.600 = 25 x 33 x 52, tendríamos que b = 2 x 3 = 6 y a = 2 x 5 = 10.
Existen algunos problemas interesantes sobre los números poderosos. Como se observa fácilmente, todo número impar es resta de dos cuadrados, luego de dos números poderosos, 2 k + 1 = (k + 1)2 – k2. Lo mismo ocurre con los múltiplos de 4, ya que 4 k + 4 = (k + 2)2 – k2.
Pero, ¿qué pasaba con los números pares no divisibles por 4, podían expresarse como resta de números poderosos? El matemático e ingeniero estadounidense Solomon W. Golomb (1932 – 2016), conocido por sus trabajos sobre juegos matemáticos, observó que algunos sí podían expresarse, como 2 = 33 – 52, 10 = 133 – 37 o 18 = 192 – 73 = 35 – 152, y conjeturó que el número 6 no podía expresarse como resta de números poderosos, así como infinitos otros números pares. El matemático polaco Władysław Narkiewicz demostró que el 6 no solo podía representarse de esta forma, 6 = 5473 – 4632, sino que existían infinitas formas de hacerlo. Más aún, en 1982, el matemático estadounidense Wayne L McDaniel extendió el resultado para todos los números pares, no divisibles por 4.
Por otra parte, Paul Erdös conjeturó, y fue demostrado por el matemático británico Roger Heath-Brown, que todo número natural suficientemente grande puede expresarse como suma de tres números poderosos.
Instalación “SOHO” (2008), del artista japonés Tatsuo Miyajima. Imagen de su página web
Bibliografía
1.- Clifford A. Pickover, El prodigio de los números. Desafíos, paradojas y curiosidades matemáticas, Ma Non Troppo (ediciones Robinbook), 2002.
2.- Clifford A. Pickover, La maravilla de los números. Un viaje por los secretos de las matemáticas, sus desafíos y caprichos, Ma Non Troppo (ediciones Robinbook), 2002.
3.- Lamberto García del Cid, Números notables. El 0, el 666 y otras bestias numéricas, El mundo es matemático, RBA, 2010.
4.- Howard H. Eves, Mathematical Circles, The Mathematical Association of America (MAA), 2003.
España / Autor: Rafael Bisquerra (coordinador) / Fuente: rafaelbisquerra.com
«La educación emocional es una respuesta a las necesidades sociales: ansiedad, estrés, depresión, violencia, consumo de drogas, etc. Todo esto es manifestación del analfabetismo emocional. El objetivo es el desarrollo de competencias emocionales, entendidas como competencias básicas para la vida.
Este libro tiene un enfoque eminentemente práctico. Se presentan multitud de actividades y ejercicios para el desarrollo de competencias emocionales, dirigidas a la educación infantil, primaria, secundaria y familias.En diversos capítulos se tratan: miedo, ansiedad y estrés; regulación de la ira para la prevención de la violencia; la tristeza; inspirar la felicidad, etc. Hay un capítulo sobre música, emoción y motivación, con la presentación de una experiencia interdisciplinaria, que puede servir de modelo y ejemplo. Otro capítulo pone un énfasis especial en la educación emocional en la familia, con la presentación de propuestas para la práctica.La intención es contribuir a la difusión de la educación emocional, tanto en la educación formal como en la familia. Investigaciones recientes han demostrado sus efectos positivos en las relaciones interpersonales, en la disminución de la conflictividad, en el rendimiento académico y en el bienestar.»
No hay diálogos, tampoco subtítulos, sólo un escenario a orillas del mar y un pequeño personaje llamado Piper, un correlimos (ave playera) que sin palabras, relata una historia rica en matices y mensajes. Frágil y diminuto, Piper llega al mundo, y con la ayuda de su madre, empieza a explorar poco a poco, tal como lo hace un niños en sus primeros años de vida. Pronto, el polluelo empieza a notar que las cosas no son tan fáciles como parecen y que el océano está lleno de retos por superar. La frustración de no conseguir alimento por su propia cuenta evidentemente lo aturde y el miedo de enfrentarse a las inmensas olas que llegan a la orilla, es constante. Sin embargo, no se rinde… enfrenta sus miedo y con valentía e ingenio desafía todo lo que antes se interponía en su camino.
Cuando Alan Barillaro, creador de este corto ganador del Oscar habló de su obra, la describió como una “historia sobre conquistar y superar miedos personales”.
Y aunque su descripción es precisa, se podría decir que Piper guarda muchísimos más secretos para reflexionar. En sólo 5 minutos, este cortometraje logra emocionar de tantas formas, que debería utilizarse como recurso didáctico a la hora de abordar ciertos temas en la sala de clase. Su valor estético y conceptual no sólo permite mostrar el poder del storytelling como método para transmitir mensajes, también invita a una serie de reflexiones propias de los procesos de aprendizaje. ¿Cuáles?
Educar
Cuando la madre de Piper decide no llevarle comida a su polluelo y además lo invita a alimentarse por su propia cuenta, nos recuerda que educar es justamente no dar respuestas, sino ofrecer oportunidades y facilitar situaciones de aprendizaje; así estaremos formando seres humanos críticos y autónomos, capacitados para tomar sus propias decisiones.
Después de que una ola lo atrapara, Piper se ve en la obligación de ser ingenioso para no caer de nuevo. Esto significa que no sólo aprendió del error, sino que también transformó dicho error en una razón para hacer las cosas de una manera distinta. Lo primero que hizo fue inspirarse en otro personaje para dar una respuesta novedosa a su problema y encontró así, la fórmula perfecta para innovar.
Cuando el polluelo escarba en la arena para evitar que la ola lo atrape, descubre una solución innovadora a su problema, pero también se convierte en el maestro de su propio aprendizaje y en un líder dentro de su propia comunidad. Piper se equivocó, enfrentó sus temores con libertad e inventó una nueva alternativa para conseguir alimento. Así, a pesar de su diminuto tamaño, se convirtió en líder, en maestro y ganó la confianza necesaria para entender que a pesar de todo, el esfuerzo sí vale la pena.
Muchas otras ideas y valores podrían extraerse de la historia de Piper para ser enseñadas en la sala de clase, pero quizás lo que más vale rescatar, además del esfuerzo del polluelo por enfrentarse a sus miedos y superar barreras, es la importancia de creer en los más pequeños y ofrecerles las oportunidades necesarias para crecer y aprender, incluso cuando el contexto lo hace parecer imposible. Porque todos los niños, con la libertad necesaria y el apoyo indicado, pueden aprender.
Fuente de la reseña: https://eligeeducar.cl/secreto-pedagogico-detras-piper-tierno-didactico-corto-pixar
En los últimos tiempos, todo se explica por las funciones cerebrales: el amor, la autoestima, el éxito o fracaso escolar
El furor por el discurso de las neurociencias es evidente. Si entramos a una librería observaremos que hay una mesa repleta de libros dedicados a las funciones cerebrales y a las emociones desde ciertos enfoques de las denominadas neurociencias; algunos de ellos más de corte científico y otros de sentido común. En los últimos tiempos, todo se explica por las funciones cerebrales: el amor, el enojo, la autoestima, el voto, el éxito o fracaso escolar.
Hay una suerte de retorno al cerebro. Nadie puede poner en duda las importantes contribuciones científicas de las neurociencias a nuestras vidas. Sin embargo, sí se pueden poner en cuestión ciertos usos mercantilizados de sus conceptos. Por ejemplo, cuando se distingue entre cerebros de pobres y cerebros de ricos. Es falso que la pobreza se aloje en el cerebro o en los genes; sin embargo, estamos plagados de discursos racistas que proclaman que la desigualdad es natural y que hay quienes nacen superiores en contraste con la inferioridad de otros (mujeres, indígenas, negros, pobres).
En lugar de referirse a la subjetividad, los discursos de la neuromanía prefieren hablar del cerebro que ama, el cerebro que piensa, el cerebro que aprende. Y entonces es legítimo preguntarse: ¿Qué oculta este fanatismo por el cerebro y los genes? ¿Por qué nos seduce tanto la ideología neoliberal del cerebro? ¿A qué responde este giro semántico que reduce al sujeto a su cerebro? ¿Por qué ese afán de explicar lo social por el dictado de la biología?
El racismo biologicista nos hace creer que el orden social es reflejo de la biología. Esta mirada conservadora de la desigualdad humana no es nueva. Hace siglos que el discurso ideológico (fabricado con el ropaje academicista) nos quiere imponer la creencia sobre la inferioridad de ciertos individuos y grupos. Pensemos en la creaneometría (medición de cráneos) del siglo XIX como expresión del neodarwinismo social que sirvió de base para clasificar a la humanidad en varias «razas» diferentes y jerarquizadas. En su obra El origen del hombre Darwin se refiere a las «razas humanas» distinguiéndolas entre las «civilizadas» y las «salvajes», apelando a una supuesta correlación existente entre tamaño del cerebro y facultades mentales. Darwin afirma que la creencia de que existe en el hombre alguna estrecha relación entre el tamaño del cerebro y el desarrollo de las facultades intelectuales se apoya en la comparación de los cráneos de las razas salvajes y las razas civilizadas, de los pueblos antiguos y modernos, y por la analogía de toda la serie de vertebrados» (1). El biólogo e historiador de la ciencia Stephen Gould, en su fantástica obra La falsa medida del hombre estudió las tesis craneométricas de varios autores y mostró que se habían manipulado datos y rellenado los cráneos para justificar sus nociones precientíficas sobre las diferencias raciales.
Precisamente, la ideología del cerebro y de los genes refuerza el efecto cuna al escindir el orden biológico del orden sociocultural; por lo cual auto-responsabiliza a los individuos por sus batallas ganadas o perdidas.
«La ideología del cerebro y de los genes refuerza el efecto cuna y autoresponsabiliza a los individuos por sus batallas ganadas o perdidas»
Estas creencias les hacen muy mal a la escuela ya que reafirman ideas prejuiciosas de que hay quien «no nació para aprender» o «no le da la cabeza para el estudio» o «no está hecho para la universidad». La educación es precisamente una práctica cultural que intenta romper el vínculo entre origen social (y cualquieras otras condiciones del sujeto) y destino. Los educadores tomamos el punto de partida de nuestros estudiantes no como veredictos condenatorios sino como desafíos de enseñanza. La escuela puede cambiar destinos.
Dicho esto, es necesario meterse comprometidamente en el debate sobre el efecto del discurso de la neuromanía que se traslada acríticamente al campo educativo. No podemos pensar a nuestros estudiantes exclusivamente como cerebros que aprenden. No somos mentes sin tiempo epocal sino sujetos existenciales en camino de nuestra humanización. Donde las emociones también son aprendidas y producen lazo social.
Para quienes buscamos como utopía la justicia educativa, lo central es analizar las condiciones de posibilidad desigual que tienen nuestras infancias y juventudes para transitar su escolarización. El problema de la desigualdad en las trayectorias y logros escolares no radican en el cerebro ni en los genes de la familia. Si hay diferencias de aprendizajes en la escuela, no se deben a cuestiones innatas que el individuo ya trae por naturaleza, sea desde su composición neurológica cerebral o bien desde su casa. La desigualdad educativa remite a desigualdad en la estructura de oportunidades, que es donde hay que poner la lupa y el horizonte. La ideología neoliberal del cerebro nos distrae del camino.
Fuente del artículo: https://www.lacapital.com.ar/educacion/el-furor-los-discursos-las-neurociencias-n1748521.html
El concepto de evaluación formativa sigue siendo objeto de algunas dudas en cuanto al enfoque y la implementación que se le debe dar en las escuelas. Es común que la evaluación, en muchas instituciones educativas, se siga limitando a proporcionar una calificación numérica, dejando de lado el aspecto formativo, es decir no se proporcionan devoluciones con fines de mejora.
Para evaluar desde el enfoque formativo es necesario realizar un seguimiento sistemático del aprendizaje de los alumnos, a partir de la recolección de evidencias relacionadas con su desempeño. Reunir dichas evidencias sin el análisis del desempeño y la propuesta de mejora, no es parte del enfoque formativo de la evaluación porque no contribuye al logro educativo.
Una evaluación formativa brinda
A los alumnos:
-información para tomar decisiones sobre su propio aprendizaje
-Compromiso para mejorar sus aprendizajes
A los docentes:
-Comprensión sobre los procesos de aprendizaje de los alumnos para poder así identificar los apoyos que éstos necesitan
A los padres de familia:
-Conocimientos sobre el nivel de logro de los aprendizajes de sus hijos
-Orientaciones para apoyarlos
A las autoridades escolares:
-Conocimiento sobre la implementación del currículo
-Estrategias para focalizar apoyos
¿Qué caracteriza a un docente que evalúa con base en el enfoque formativo?
El docente que evalúa desde el enfoque formativo, reflexiona constantemente acerca de los aprendizajes esperados; los criterios de evaluación; informa a los alumnos lo que quiere que aprendan y retroalimenta su trabajo; además de promover que supervisen su desempeño.
A continuación le presentamos un listado con las acciones o prácticas que suele llevar a cabo un docente que evalúa con base en el enfoque formativo:
-Organizar, planificar su trabajo, y evaluar lo que se enseña.
-Conocer, a partir de las evaluaciones, los avances de los alumnos y crear oportunidades de aprendizaje que conduzcan al logro de los aprendizajes esperados.
-Definir y compartir con sus alumnos los criterios de evaluación que se utilizarán, y ofrecer retroalimentación de su progreso en el aprendizaje para que los estudiantes conozcan su desempeño y cuenten con los elementos necesarios para mejorarlo.
-Analizar los resultados de sus evaluaciones para reflexionar y tomar decisiones conducentes a mejorar su práctica, de manera que incida en el mejor desempeño de sus alumnos.
-Informar a las autoridades escolares y a las madres, padres de familia o tutores el progreso en el logro de los aprendizajes de los alumnos, tanto en los momentos destinados para ello como cuando lo considera oportuno, con el fin de que todos contribuyan al logro de los aprendizajes esperados.
-Poseer una conducta ética y promover una práctica profesional.
-Contar con capacidad analítica y autocrítica.
-Realizar en el aula una práctica reflexiva.
-Actualizarse de forma continua.
-.Utilizar diferentes instrumentos para recolectar evidencias.
-Fortalecer competencias interpersonales, como algunas habilidades de comunicación con diferentes audiencias; tener buen manejo del tiempo; ser líder constructivo a lo largo del proceso; ser asertivo bajo presión; ser sensible para percibir conflictos, y ser negociador y construir relaciones sólidas con sus alumnos y otros docentes.
-Promover que el aula y la escuela sean los espacios destinados a la formación de los alumnos, la convivencia respetuosa y armoniosa.
-Promover en los alumnos la puntualidad, la asistencia y la limpieza en sus trabajos, pero no incorporar estos aspectos como parte de la evaluación.
¿En qué grado soy un docente que evalúa desde el enfoque formativo?
Es conveniente, de igual manera, realizar una autoevaluación que le permita identificar fortalezas y áreas de mejora en cuanto a la manera que usted evalúa en la actualidad. Para esto, le compartimos la siguiente lista de verificación, reflexione atentamente a cada acción descrita y valore si la está llevando a cabo al momento de evaluar.
Ejemplo de lista de verificación para autoevaluarse:
A partir de los resultados de este diagnóstico, se sugiere reflexionar acerca de los atributos que aún faltan por desarrollar.
La evaluación formativa es un elemento indispensable que todo profesor, independientemente del nivel en el que se desempeñe, debe incorporar a su práctica. Como se ha señalado, permite la mejora en el aprendizaje de los alumnos, al mismo tiempo que favorece el perfeccionamiento de la intervención docente.
¡Esperamos que la información te haya sido de utilidad!
Referencia: El enfoque formativo de la evaluación, SEP, 2012
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