Matemáticas

Venezuela / 9 de diciembre de 2018 / Autor: Ramón Eduardo Azócar Añez / Fuente: Aporrea

DEDICO:

Al reconocido matemático de la UNELLEZ,

Dr. Jesús Tapia, quien es un ejemplo de

esta pedagogía crítica en Latinoamérica…

Recientemente me interpelaba un estudiante de postgrado de la Universidad Fermín Toro, Extensión Portuguesa, acerca de cómo generar una pedagogía crítica en la enseñanza de las matemáticas (acá hago alusión a matemáticas, en plural o en singular, denotando el mismo significado de «ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones», tal cual me lo permite el Diccionario de la Real Academia Española), lo cual me motivó a esbozar algunas líneas interpretativas entorno de esta inquietud de corte muy académico.

La matemática, en expresión de Andler, Fagot-Largeault y Saint-Sernin, en cuanto ciencia, tiene la misión de desarrollar y construir estructuras formales. Por otra parte, puede muy bien afirmarse que la realidad ya tiene determinadas estructuras. Por esto, no se sabe con seguridad cuáles de las estructuras captadas por la mente son las que corresponden a la realidad en sí y cuáles son debidas a nuestro pensamiento en su intento de configurar, estructurar e informar esa realidad. La matemática funciona de acuerdo con reglas convencionales preestablecidas e inflexibles, y si no, no sería tal. Estas reglas siguen, básicamente, las leyes aditiva, conmutativa, asociativa y distributiva aplicadas a los elementos con que trabaja.

Ahora bien, los elementos que constituyen las estructuras dinámicas o sistemas no se le pueden aplicar estas leyes sin desnaturalizarlos, no son elementos ni partes, sino constituyentes de una entidad superior. Ya en la misma estructura del átomo, por ejemplo, el álgebra cuántica no permite aplicar la ley conmutativa de factores, es decir, que no es lo mismo a*b que b*a, lo cual significa que el orden es importante, como no es lo mismo una parcela de terreno de 10m de frente por 20 de fondo, que una de 20m de frente por 10 de fondo. Esta situación aumenta insospechadamente en la medida en que ascendemos a niveles superiores de organización y complejidad, como son las realidades estudiadas por la química, la biología, la psicología, la sociología, la economía y la cultura en general.

A todas estas, el problema tiene un fondo ontológico; la física clásica, ante varias causas que actúan simultáneamente, representa la resultante como una suma vectorial, de modo que, en cierto sentido, cada causa produce su efecto como si no actuara ninguna otra causa. Conviene precisar que la ciencia clásica, al usar las ecuaciones matemáticas, aun cuando parezca que trata con un sistema complejo de interacciones, sus resultados los debe exclusivamente al empleo de relaciones de tipo unidireccional, es decir, lo que usa es solamente el famoso principio de superposición de efectos.

En un aspecto puntual, los procedimientos matemáticos siguen siendo fieles de las cuatro leyes fundamentales de la matemática tradicional clásica, que se reducen a la propiedad aditiva, pero lo sistémico no es aditivo, como tampoco es conmutativo, asociativo o distributivo, ni sus elementos se pueden medir previa o aisladamente del resto de todos los otros constituyentes.

Desde una perspectiva general, se ha observado que la didáctica matemática (en la teoría y praxis), no cuenta con estudios que la signifiquen desde la perspectiva epistémica, siendo solamente los acercamientos teóricos una breve explicación de procesos y estrategias, descuidando ir hacia el fondo del problema que es la construcción de un aparato descriptivo y explicativo que presente a la didáctica matemática como un cuerpo articulado y vinculado con los saberes pedagógicos. Sobre todo, los saberes pedagógicos en el marco de la perspectiva crítica de la sociedad que hace de la matemática un instrumento de reflexión práctica y no simplemente un cálculo estandarizado y reduccionista.

Cuando se hace referencia al episteme, es un término que viene del griego ἐπιστήμη, y significa conocimiento o ciencia, clásicamente los pensadores griegos hacían un distingo entre episteme y τέχνη (tekne) o técnica. La episteme significa conocimiento en tanto creencia justificada como verdad, a diferencia del término doxa que se refiere a la creencia común o mera opinión.

Al mencionar el «episteme de la didáctica de las matemáticas», se hace alusión el conjunto de relaciones que pueden unir una época determinada, las prácticas discursivas que originan ciertas figuras epistemológicas. La episteme de la didáctica matemática no constituye un conocimiento ni una forma de racionalidad, ni se orienta a construir un sistema de postulados y axiomas, sino se propone recorrer un campo ilimitado de relaciones, recurrencias, continuidades y discontinuidades.

La episteme de la didáctica de las matemáticas no es una creación humana, es más bien el lugar en el cual el docente queda instalado en un punto desde el cual conoce y actúa de acuerdo con las reglas estructurales de la episteme (inconscientemente). La episteme de la didáctica matemática hace su propia historia porque es el episteme que hace posible el modelaje teórico y práctico de la didáctica matemática.

La matemática no nació como ciencia pura, sino como un intento de explicar la realidad que el hombre tenía frente a sí; así fue como la fueron desarrollando los babilonios y los egipcios, algunos hombres, al encontrar ciertas relaciones precisas entre algunas variables físicas, se ilusionaron tanto con su poder explicativo, que pensaron, como Galileo, que Dios había escrito el libro de la Naturaleza en lenguaje matemático o, como Descartes, que había que crear una matemática universal para someter todos los fenómenos sujetos a orden y medida del universo (res extensa) a una descripción matemática, es decir, a una matematización del universo, a una matematización de todo el saber.

En un aspecto puntual, el problema de la utilidad o conveniencia de una mayor o menor matematización del saber, ya sea su geometrización, aritmetización, algebrización, entre otros, es de naturaleza gnoseológica. Abarca el conocer si el modelo matemático capta mejor y expresa más adecuadamente la naturaleza y complejidad de una determinada realidad, porque, en fin de cuentas, para eso es la matemática. Este problema ha llevado a los estudiosos del mismo a formular y defender, desde principios de siglo XX, tres posiciones básicas como fundamentación de la matemática: el logicismo, el formalismo y el intuicionismo. La tesis logicista, expuesta por Gottlob Frege en 1879, en su obra «Begriffsschrift: escrito conceptual», y estructurada después por Bertrand Russell, en colaboración con «Whitehead» en su voluminosa obra «Principia Matemática», con que reconstruyen toda la matemática clásica a partir de la lógica. La tesis sostiene que la matemática pura es una rama de la lógica, que la naturaleza de la verdad matemática no tiene un referente empírico, sino que trata exclusivamente de las relaciones entre los conceptos. Los logicista no pretenden decir nada acerca de la relación con la realidad, con el mundo de la experiencia; piensan que han hecho algo más que axiomatizar las matemáticas existentes; creen haber derivado toda la matemática de la lógica pura, sin usar ningún supuesto extralógico.

En cuanto a la tesis formalista el matemático alemán David Hilbert y su escuela desde principios del siglo XX, afirma la independencia de la matemática frente a la lógica. Sostiene que la matemática pura es la ciencia de la estructura formal de los símbolos, y arranca de la realidad concreta de los signos.

En realidad la condición previa para la aplicación de los razonamientos lógicos es que se dé algo a la representación, a saber: ciertos objetos concretos, extralógicos, que estén presentes en la intuición en tanto que datos vividos de forma inmediata y previa a toda actividad del pensamiento. En las matemáticas, el objeto de nuestro examen son los signos concretos mismos; y su punto de vista filosófico sólido se puede resumir recalcando que en el principio era el signo.

Como se ve, la solidez del pensamiento matemático y la validez de sus pretensiones de verdad residen finalmente y solamente en la intuición del signo, intuición que disfruta de una evidencia privilegiada. La matemática es una ciencia sin presuposiciones, los objetos del pensamiento matemático son los símbolos mismos, libres de contenido, es decir, los símbolos per se son la esencia de la matemática.

Sin embargo, esto no dispensa a la matemática de mantener el contacto con ciertas intuiciones previas al signo y la formalización, y que ésta sólo puede ayudar a clarificar; en efecto, el signo siempre es signo de algo, tiene un referente. Puede ser que el signo sea natural, si la relación signo-referente está dictada por la naturaleza como humo-fuego, gemido-dolor, o artificial, convencional, si se debe a una convención social, histórica, no necesaria como, por ejemplo, los signos del lenguaje.

En cuanto a la tesis intuicionista, sostenida por el matemático y filósofo holandés L.E. Brouwer y la escuela intuicionista de la década del sesenta del siglo XX, es la que más subraya, como fundamentos de la matemática, la intuición, la evidencia y la aprehensión o intelección inmediatas de la cantidad pura. La única fuente de conocimiento matemático es la intuición directa de la cantidad pura, prescindiendo de las cualidades y esencia de los seres.

En una palabra, los problemas matemáticos fundamentales no son más que principios para la aplicación de las formas matemáticas a la realidad de la experiencia supone imprimir estas formas sobre ella o introducirla en un molde conceptual preestablecido. Pero estas formas son, como hemos dicho, de naturaleza ideal, con lo que surge la pregunta de si toda matematización no tendrá que ser considerada como una idealización de nuestra realidad empírica.

A todas estas, desde el punto de vista pedagógico, la complejidad de los problemas planteados en la didáctica de las matemáticas produce dos reacciones extremas. En la primera están los que afirman que la didáctica de la matemática no puede llegar a ser un campo con fundamentación científica y, por lo tanto, la enseñanza de la matemática es esencialmente un arte. En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible la existencia de la didáctica como ciencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando sólo un aspecto parcial al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma. La didáctica de las matemáticas debe tender hacia la transdisciplinariedad lo que situaría a las investigaciones e innovaciones en didáctica dentro de las interacciones entre las múltiples disciplinas, (Psicología, Pedagogía, Sociología entre otras sin olvidar a la propia Matemática como disciplina científica) que permiten avanzar en el conocimiento de los problemas planteados.

En cuanto a la didáctica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro últimas décadas de este siglo. Sin embargo, no ha acabado la lucha entre el idealista, que se inclina por potenciar la comprensión mediante una visión amplia de la matemática, y el práctico, que clama por el restablecimiento de las técnicas básicas en interés de la eficiencia y economía en el aprendizaje. Ambas posturas se pueden observar tanto en los grupos de investigadores, innovadores y profesores de matemáticas de los diferentes niveles educativos.

Por consiguiente, la filosofía de la matemática debería poder analizar las condiciones de posibilidad del conocimiento matemático de acuerdo con los enfoques dominantes en esferas como la ciencia natural. Pero, contrario a lo que sucede con el conocimiento científico-natural, donde la realidad de los fenómenos conocidos está dada, en matemática no hay consenso sobre cuál es la realidad acerca de la cual se ocupa. Uno de los problemas fundamentales que enfrenta hoy la filosofía de la matemática es, así, que para emprender una discusión sobre la posibilidad del conocimiento matemático se debe disponer de una ontología de la matemática, a fin de determinar qué es lo que se pretende conocer en dicho dominio teórico. La investigación citada, fue un enfoque que intentó satisfacer simultáneamente una adecuada explicación ontológica de la matemática y una acotación plausible de sus dificultades epistemológicas bajo el punto de vista de una matemática entendida como ciencia de estructuras puramente formales.

En cuanto al estilo didáctico de la matemática como actividad, citando ideas de Courant y Robbins (2002), esta posee una característica fundamental: la Matematización. Matematizar es organizar y estructurar la información que aparece en un problema, identificar los aspectos matemáticos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras. Courant y Robbins, distinguen dos formas de matematización, la matematización horizontal y la matematización vertical. La matematización horizontal, no lleva del mundo real al mundo de los símbolos y posibilita tratar matemáticamente un conjunto de problemas. En esta actividad son característicos los siguientes procesos: IDENTIFICAR las matemáticas en contextos generales; ESQUEMATIZAR; FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras; DESCUBRIR relaciones y regularidades; RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas; y TRANSFERIR un problema real a uno matemático; TRANSFERIR un problema real a un modelo matemático conocido.

La matematización vertical, consiste en el tratamiento específicamente matemático de las situaciones, y en tal actividad son característicos los siguientes procesos: REPRESENTAR una relación mediante una fórmula; UTILIZAR diferentes modelos; REFINAR y AJUSTAR modelos; COMBINAR e INTEGRAR modelos; PROBAR regularidades; FORMULAR un concepto matemático nuevo. Estos componentes de la matematización pueden ayudar a caracterizar los diferentes estilos o enfoques en la enseñanza de la matemática. Para el estructuralismo, la matemática es una ciencia lógico deductiva y ese carácter es el que debe informar la enseñanza de la misma.

El estilo estructuralista hunde sus raíces históricas en la enseñanza de la geometría euclídea y en la concepción de la matemática como logro cognitivo caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado. Es por lo que, a los ojos de los estructuralistas, a los alumnos se les debe enseñar la matemática como un sistema bien estructurado, siendo además la estructura del sistema la guía del proceso de aprendizaje. Ese fue y sigue siendo el principio fundamental de la reforma conocida con el nombre de Matemática Moderna y cuyas consecuencias llegan hasta nuestros días. El estilo estructuralista carece del componente horizontal pero cultiva en sobremanera la componente vertical. El estilo mecanicista se caracteriza por la consideración de la matemática como un conjunto de reglas. A los estudiantes se les enseña las reglas y las deben aplicar a problemas que son similares a los ejemplos previos. Raramente se parte de problemas reales o cercanos al estudiante, más aún, se presta poca atención a las aplicaciones como génesis de los conceptos y procedimientos, y mucha a la memorización y automatización de algoritmos de uso restringido. El estilo mecanicista se caracteriza por una carencia casi absoluta de los dos tipos de matematización.

En un sentido puntual, la filosofía mecanicista del hombre es como una computadora, de tal forma que su actuación puede ser programada por medio de la práctica. En el nivel más bajo, es la práctica en las operaciones aritméticas y algebraicas (incluso geométricas) y la solución de problemas que se distinguen por pautas fácilmente reconocibles y procesables. Es en este, el más bajo nivel dentro de la jerarquía de los más potentes ordenadores, donde se sitúa al hombre». La enseñanza es básicamente utilitaria, los alumnos adquieren experiencias y contenidos útiles, pero carece de profundización y sistematización en el aprendizaje. El empirismo está enraizado profundamente en la educación utilitaria inglesa.

En un aspecto puntual, respondiendo a la inquietud de mi estudiante acerca de la pedagogía crítica como elemento influente en la didáctica de las matemáticas (entendiendo que una cosa es la pedagogía y otra la didáctica: pedagogía se ocupa de la investigación de cuestiones globales de la educación; la didáctica es el estudia el proceso de enseñanza aprendizaje a través de los métodos prácticos), es prioritario comprender el contenido de saberes matemáticos desde una pedagogía crítica, como propuesta de enseñanza que ayuda a los estudiantes a no ser conformistas con la información recibida, invitándolos a cuestionar y desafiar la dominación y las creencias y prácticas que la generan. En el caso de las matemáticas es una teoría y práctica (praxis) en la que los estudiantes alcanzan una conciencia del «uso de lo numérico-abstracto» para la generación de nuevo conocimiento desde la praxis; es decir, saber darle uso a la actividad aritmética para resolver problemas puntuales en la cotidianidad. Es una pedagogía inmersa en la tradición del maestro que genera respuestas liberadoras tanto a nivel individual como colectivo; apropiarse de esta pedagogía es lo que se necesitaría para poder ahondar a profundidad en el pensamiento matemático vinculado con el contexto en donde se está reflexionando y aprendiendo.

Si bien desde las fórmulas no se puede estar inventando resultados, no es menos cierto que desde el uso de esas fórmulas es necesario comenzar a indagar para crear nuevas estructuras abstractas que nos permita pensar de una manera más amplia y significativa, temas acerca de la realidad que mueve el espacio-tiempo planetario.

*.-azocarramon1968@gmail.com

Fuente del Artículo:

https://www.aporrea.org/educacion/a272318.html

Fuente de la Imagen:

http://bibliotecadejuan.blogspot.com/2011/08/pedagogia-la-ensenanza-de-las.html

ove/mahv