La educación como proceso de aprendizaje social no se reduce a las actividades que se llevan a cabo en las aulas, virtuales o presenciales. Ocurre cada día. El tema del retorno a las escuelas es el que, con razón, predomina en estos días. Es complejo pues implica la consideración de varias dimensiones entrelazadas y heterogéneas si se consideran los diferentes y desiguales contextos sociales, niveles de estudio y condiciones escolares, así como las distintas perspectivas, también variables, desde los múltiples tipos de organización familiar, prácticas docentes e infraestructura material de los planteles, a las que se añaden posiciones divergentes en cuanto a consideraciones políticas, económicas, sanitarias y pedagógicas.
Sin restar importancia a este dilema que reclama la mayor apertura al dialogo para generar proyectos adecuados a las circunstancias, conviene abrir la mirada y preguntar cuáles son las principales vetas que en la comprensión del país y su futuro se han abierto al lidiar con la pandemia. Comparto algunas, que sin duda se ampliarán con las experiencias de quienes lean estas letras.
En primer lugar, la fragilidad del proyecto de nación emergió (más) a través de la inaudita concentración del ingreso, poder y prestigio que produce distancias (barrancos hondos) entre las posiciones sociales ante las que la propuesta de la igualdad de oportunidades, revestida con el predominio del mérito como quantum de esfuerzo, se desmorona.
Sea cual sea el sector social que se enfoque, la desigualdad y la pobreza son un lastre para quienes adhieren a la construcción de un país decente. La inequidad en el acceso a los servicios de salud; a la educación, ahondada ahora por vínculos tan diferenciados entre estratos sociales a la tecnología, y la contrastante densidad de habitantes por metro cuadrado de vivienda o espacios públicos con áreas verdes, por señalar algunos, son inaceptables éticamente y reducen los umbrales para hacer viable compartir el territorio de manera justa.
En segundo, y sin ser experto en la materia, considero que la enorme cantidad de personas ocupadas en el sector informal que no pueden recluirse pues dependen del ingreso diario, junto con la creciente pérdida de seguridad y prestaciones en el empleo en el sector formal, no auguran bases firmes para el desarrollo económico del país.
Añado, en tercer lugar, la escasa presencia de cultura científica en la población, que nos hizo ver, en fases decisivas de la desgracia, la prevalencia de supuestas protecciones religiosas ante el virus, rayanas en la superstición, en muy amplios grupos de la sociedad e incluso del gobierno.
En cuarto sitio, y no en importancia, ha sido costosa, y lo será de no enmendarse, la falta de credibilidad y confianza en las instituciones. Esta dimensión se relaciona con la quinta, a saber: la mayoritaria noción de la condición de beneficiarios y no la de ciudadanos. De persistir la idea de formar parte de un país de beneficiarios de bienes de autoridad – ya sea población marginada o empresarios de cualquier tipo en todos los ramos – la condición fundamental de la democracia, conciencia de ciudadanía con derechos y obligaciones, reduce las posibilidades de un cambio social de fondo.
Ninguno de estos aspectos es privativo del actual gobierno. Son taras de décadas que el virus y sus funestas consecuencias han descarnado dejándolas en los huesos. Urge hacernos cargo de estas lozas para el futuro como aprendizaje de esta temporada de trancazos. Más nos vale.
Manuel Gil Antón. Profesor del Centro de Estudios Sociológicos de El Colegio de México
La actividad es gratuita y las inscripciones están abiertas hasta el 8 de febrero.
“Cuando vivís las experiencias en el campo, en contacto con la naturaleza, investigando algo que te interesa, aprendés mucho más que en el salón de clase”, aseguró a la diaria Guillermo Dranuta, ex participante de campamentos científicos y uno de los impulsores de la iniciativa en Uruguay. Unir naturaleza y ciencia es uno de los propósitos del Campamento Latinoamericano de Ciencias, que reúne a adolescentes y jóvenes uruguayos y de la región en Lavalleja para explorar y avanzar en diferentes proyectos. Este año es la séptima edición y las inscripciones están abiertas hasta el 8 de febrero, dirigidas a jóvenes de 15 a 19 años, en el sitio web del Ministerio de Educación y Cultura (MEC).
Hace años, Dranuta pudo participar en un campamento científico de la Universidad de California en San Diego junto con otros dos jóvenes de Uruguay. “Fue increíble. Después de haber pasado por una experiencia como esa, me pareció que era necesario que más personas tuvieran la oportunidad, por eso presenté en el MEC la idea de que en Uruguay haya una experiencia similar. Evidentemente, no iba a tener un nivel tan técnico como aquel al que se llega con los laboratorios de las universidades de Estados Unidos, pero, en verdad, tampoco se precisa eso para transmitirles a los jóvenes lo que es hacer ciencia”, comentó Dranuta.
A medida que pasaron las ediciones, el campamento se fue popularizando entre los jóvenes, afirmó Gustavo Riestra, director de Cultura Científica en la Dirección Nacional de Educación del MEC. “Tenemos mucha expectativa en esta edición porque los ex campamentistas son unos excelentes embajadores con sus pares y están incentivando a que se presenten para esta nueva edición. Ya hemos superado la cantidad de estudiantes inscriptos el año pasado, y notamos que hay una avidez importante de nuestros adolescentes y jóvenes en postularse”, agregó.
Este año se elegirán 35 estudiantes para participar en el campamento que se llevará a cabo desde el 9 hasta el 14 de marzo en el camping Arequita, en Minas, Lavalleja. Para postularse los jóvenes tienen que llenar un formulario y adjuntar un video de presentación; con esos insumos el equipo de Cultura Científica comenzará la selección de los participantes que luego pasarán por una entrevista personal, para conocerlos mejor. Según indicó Riestra, buscan que los campamentistas sean personas “con pasión y avidez por el aprendizaje, por descubrir nuevas estrategias de acercarse al conocimiento, gente curiosa a la que le guste la naturaleza y compartir con otros”.
No es necesario que los adolescentes ya se proyecten como científicos en el futuro, “simplemente buscamos personas que les interese salir a explorar; hemos visto que el campamento, muchas veces, ha sido un desencadenante para luego definir vocaciones en muchos de estos estudiantes”, recordó Riestra. Por otra parte, los jóvenes de otros países son seleccionados por órganos similares al MEC, que eligieron a los estudiantes por diversas iniciativas, como las ferias científicas.
“Otra de las cualidades del campamento es formar grupos de jóvenes entusiastas por la ciencia que siguen en contacto con el paso del tiempo”.
Otra de las cualidades del campamento es formar grupos de jóvenes entusiastas por la ciencia que siguen en contacto con el paso del tiempo, mencionó el director. Como ejemplo comentó que el grupo de 2019 jugó un rol muy importante para que una de las jóvenes se animara a participar en un programa del instituto Waizman de Israel o que uno de los chicos viajara a la NASA. “Se generan muy buenos grupos, siguen pensando juntos y es lo que los ha ayudado a dar pasos significativos como estos”, apuntó Riestra.
¿Qué se hace en el campamento?
Durante su paso por el campamento en Minas los jóvenes trabajarán en equipo junto con científicos, investigadores y docentes uruguayos, y probablemente algún colega de países vecinos. El equipo se organiza en base a una sola premisa, la interdisciplinariedad, ya que es fundamental que los jóvenes trabajen en la unión de las diferentes áreas del campo, señaló Riestra.
Además, como todos los años, se incorporará al equipo un investigador de Estados Unidos que llega invitado por la embajada de ese país en Uruguay, que auspicia la iniciativa junto con la Intendencia de Lavalleja, el Museo de Historia Natural del Consejo de Educación Secundaria (CES), el Instituto de Investigaciones Biológicas Clemente Estable, el Observatorio Astronómico del liceo 1 de Minas y la Inspección de Astronomía del CES. La organización corre por cuenta del MEC y la Administración Nacional de Educación Pública.
La agenda del campamento se mantiene como incógnita hasta el momento de llegar, pero “sin dudas está cargada de actividades. Todo el campamento son talleres, no hay clases expositivas, sino que hay mucho de las manos a la masa”, detalló el director de Cultura Científica. Los estudiantes comienzan trabajando en una aproximación teórica a lo que significa una investigación; luego, en equipos, elaboran sus propias preguntas de investigación, que guiarán su trabajo de campo, se ponen objetivos y realizan varias salidas de campo para recoger los datos necesarios. Ya están planeados dos viajes para tomar muestras: al río Santa Lucía y a las playas de Punta del Este. Riestra explicó que el trabajo de campo se enfoca en la diversidad biológica, y eso puede abarcar desde el estudio de animales y plantas hasta la contaminación.
Al avanzar en sus proyectos, los adolescentes redactan un informe final con los resultados de la investigación y lo presentan a los demás equipos, para socializar el conocimiento e iniciar un debate entre ellos. “No obstante, paralelo a todas esas actividades, hay una serie de talleres que apuntan a lo que es trabajar el liderazgo, el emprendedurismo, la creatividad del pensamiento reflexivo y crítico, el trabajo en equipo, es decir, una serie de talleres que complementan las competencias científicas”, subrayó el director.
“Tratamos de potenciar las competencias científicas al igual que las habilidades para el siglo XXI”.
Ir más allá de lo científico también es prioridad para los organizadores. El área de Cultura Científica del MEC trabaja con una visión que busca fortalecer las áreas STEAM (ciencia, tecnología, ingeniería, arte y matemática, por su sigla en inglés) con el objetivo de fortalecer la formación ciudadana para el futuro. Riestra detalló: “En este campamento tratamos de potenciar las competencias científicas, al igual que las habilidades para el siglo XXI, buscamos que, de alguna manera, el pasaje por el campamento les permita hacer una construcción de ciudadanía sólida y estar mejor preparados para lo dinámico que es el siglo que les toca vivir”.
Inscripciones abiertas
Para postularse los participantes deben tener entre 15 y 19 años y cursar en 2020 de tercero a sexto de educación media. Se recibirán postulaciones hasta el domingo 8 de febrero a las 23.59 en ladiaria.com.uy/U0d
El artista futurista italiano Giacomo Balla (1871-1958) pintó una obra titulada Los números enamorados en 1924, asociando una cualidad humana, como es el enamoramiento, a los números. También en el ámbito de las matemáticas nos gusta asociar a los números, en particular, a los números naturales, cualidades humanas. Existen números amigos, sociables, novios, narcisistas, felices, tristes, hambrientos, intocables, ambiciosos, afortunados, poderosos, malvados, odiosos, prácticos o raros, pero también, con otras denominaciones curiosas, como números vampiros, parásitos, perniciosos, apocalípticos, perfectos, poligonales, cíclicos, automorfos, sublimes, abundantes, escasos o intocables.
Algunas de estas familias de números deben su propiedad definitoria al comportamiento de sus divisores propios, es decir, entre los divisores no se considera al propio número. Son a estas familias de números naturales a las que vamos a dedicar la entrada de hoy de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica.
Empecemos con unas familias de números con un origen muy antiguo. Un número se dice que es perfecto si es igual a la suma de sus divisores (propios), como ocurre con los números 6 = 1 + 2 + 3 y 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Se los denominó perfectos porque en tiempos antiguos se dio a esta propiedad una interpretación divina. Por ejemplo, San Agustín relaciona el hecho de que Dios crease el mundo en 6 días, con la perfección de este número.
Los siguientes números perfectos, después de 6 y 28, conocidos ya desde la antigüedad, son
Se desconoce el origen exacto de los números perfectos, aunque ya eran conocidos por los matemáticos griegos. Euclides de Alejandría (aprox. 325 – 265 a.n.e.) los estudia en su obra Los Elementos, aunque antes los había estudiado Pitágoras (aprox. 570 – 495 a.n.e.), e incluso podrían haber sido conocidos por los egipcios.
Euclides demostró que para algunos números primos p, los números de la forma 2p–1 (2p – 1) son perfectos, por ejemplo, para p = 2, 3, 5, y 7, se obtienen los perfectos anteriores. Dos milenios después, el matemático suizo Leonhard Euler (1707 – 1783) demostraría que todos los números perfectos pares son de esta forma, con (2p – 1) un número primo.
El quinto número primo encontrado fue 33.550.336, para p = 13, que aparece en un manuscrito del siglo XV. El sexto y séptimo –para p = 17 y 19– fueron descubiertos por el matemático italiano Pietro Cataldi (1548 – 1626) en 1588, en concreto, 8.589.869.056 y 137.438.691.328. Y Euler, en 1772, descubrió el octavo, que es 230 (231 – 1) = 2.305.843.008.139.952.128.
Obtener números perfectos es una tarea muy difícil, luego podemos decir que “la perfección es difícil de conseguir”. Antes del siglo XX solo se conocían 9 números perfectos. El noveno fue obtenido, para p = 61, por el matemático ruso Iván Pervushin (1827 – 1900), en 1883. De hecho, en la fórmula de Euclides-Euler no basta con que p sea primo, ya que para p = 11, 211 – 1 = 2.047 = 23 x 89, no es primo, con lo cual 210 (211 – 1) no es perfecto.
Con la ayuda de los ordenadores ha sido posible calcular muchos más, pero no demasiados. Solo se conocen, hasta la fecha, 51 números perfectos. El último descubierto, en 2018, fue el correspondiente al primo p = 82.589.933.
Se desconoce si existe un número infinito o finito de números perfectos. Además, todos los números perfectos conocidos son pares, y no se sabe si existen impares. Lo que se ha conseguido demostrar es que de existir tendrían que cumplir una serie de propiedades, como tener al menos 9 divisores primos distintos o ser mayores que 101.500, entre muchas otras.
Veintiocho (modelo para una escultura pública), 1992, del artista estadounidense Jonathan Borofsky. Imagen de su página web
Ya los griegos dividieron a los números naturales que no son perfectos en dos categorías, los abundantes y los deficientes. Los números que no son perfectos pueden ser abundantes, cuando el número es menor que la suma se los divisores, como el 12 deficientes en el caso contrario, como el 14 > 1 + 2 + 7 = 10 o todos los números primos, cuyo único divisor propio es el 1. Estos conceptos, como la perfección, formaron parte de la numerología griega.
El religioso, teólogo y matemático anglosajón Alcuino de York (735 – 804) relacionaba la “segunda creación” de Dios, el diluvio universal y el Arca de Noé, con el número 8, ya que la humanidad desciende de las 8 almas que se salvaron del diluvio refugiándose en el Arca de Noé. Por lo tanto, esta es una creación imperfecta, puesto que el número 8 es deficiente, 8 > 1 + 2 + 4.
Los números llamados abundantes no son, sin embargo, tan abundantes como su nombre indica. Existen 245 números abundantes menores que 1.000, aunque solo uno de ellos impar, el número 945 = 33 x 5 x 7, los demás son pares, y solo 3 números perfectos (por supuesto, pares), el resto son deficientes. Entre los primeros 50.000 números hay 37.602 deficientes, 4 perfectos y 12.394 abundantes. Entre estos 12.394 números abundantes, solo 114 son impares.
Así como lo bello y lo excelente es raro de encontrar y se cuenta pronto, pero lo feo y lo malo siempre es prolífico, así también los números abundantes y deficientes resultan ser muchos y en desorden, y su descubrimiento no obedece a sistema alguno. Pero los perfectos, son a un tiempo escasos en número y se hallan dispuestos en un orden apropiado.
Nicómaco de Gerasa (aprox. 60 – 120 n.e.), Introducción a la Aritmética
Imagen 3 (Pie de imagen: You know my name (look up the number), acrílico sobre papel, 63 x 90 cm, del artista suizo Eugen Jost. Entre las sucesiones de números que aparecen, están los primeros números perfectos. Imagen de Plus Magazine[https://plus.maths.org/content/postcard-italy])
Entre los números abundantes, es decir, aquellos que son menores que la suma de sus divisores, se considera que son números casi perfectos aquellos tales que la suma de sus divisores es uno menos que el número. Así, el 16 es un número casi perfecto ya que 1 + 2 + 4 + 8 = 15. De hecho, todas las potencias de 2 son casi perfectas:
Los únicos números casi perfectos que se conocen son las potencias de 2, y es un problema abierto demostrar que estos son los únicos que existen.
Otra familia de números relacionada con la perfección, son los números múltiplo-perfectos omulti-perfectos, aquellos tal que la suma de sus divisores (recordemos que todo el tiempo estamos refiriéndonos a los divisores propios) no es el número, sino un múltiplo del mismo. Por ejemplo, los divisores del número 120 = 23 x 3 x 5 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 y 60, cuya suma es 240 = 2 x 120. Solo se conocen 6 números multi-perfectos cuya suma sea el doble del número, 120, 672, 523.776, 459.818.240, 1.476.304.896, 51.001.180.160, y todos son pares. O, se conocen 36 cuya suma es el triple, de nuevo todos pares, de los cuales el más pequeño es 30.240.
Hardy’s Taxi, acrílico sobre lienzo, 60 x 60 cm, del artista suizo Eugen Jost. Obra perteneciente a la exposición Everything is number
Más aún, un número se dice que es ambicioso si puede llegar a ser perfecto de la siguiente forma. Dado el número se toma la suma de sus divisores, con este nuevo número se vuelve a considerar la suma de sus divisores, y se continúa así, de forma que el número es ambicioso si llega un momento que se alcanza un número perfecto, como en el caso del número 95, cuyos divisores suman 1 + 5 + 19 = 25, y los divisores de este suman 1 + 5 = 6, que es perfecto. Números no ambiciosos son el 24 o los números primos (cuyo único divisor es el 1).
Veamos que el 24 = 23 x 3 no es ambicioso. Sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12, cuya suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36. Ahora, los divisores de 36 = 22 x 32 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 y 18, cuya suma es 55. Ahora este número, 55 = 5 x 11, tiene solo tres divisores 1, 5 y 11, cuya suma es 17, que es primo, luego su único divisor es 1 y se estaciona la sucesión. En consecuencia, el 24 no es ambicioso. Solo se conocen 16 números ambiciosos, 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, e incluso un número tan bajo como 276 se desconoce si es, o no, ambicioso (aunque seguramente no).
Y también relacionados con la perfección están los números sublimes, aquellos tales que tanto el número de sus divisores (incluido ahora el propio número), como la suma de los mismos son perfectos, como el 12, que tiene 6 divisores y su suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, aunque solo se conoce otro número sublime más, que es el siguiente
Números amigos (2010), del artista británico Andrew Crane
A continuación, vamos a introducir parejas de números con una fuerte conexión entre ellos, desde la perspectiva que estamos analizando en esta entrada. Empecemos por el número 284, que se puede escribir como la multiplicación de los números primos 71 y 2 de la siguiente forma 284 = 71 x 22. Por lo tanto, los divisores propios del 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, cuya suma es
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Si ahora consideramos el número que nos ha salido, 220, y buscamos sus divisores, como 220 = 11 x 5 x 22, entonces estos son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, y la suma de ellos es
precisamente el primer número. Por este motivo, se dice que los números 220 y 284 son números amigos. Es decir, dos números son amigos si la suma de los divisores (propios) del primero es igual al segundo, y viceversa.
Este par de números amigos (220, 284) ya era conocido por los pitagóricos, quienes les atribuían propiedades místicas. En general, en la antigüedad se pensaba que estos números tenían poderes místicos, y eran utilizados en textos religiosos y de magia, en particular, en relación al amor y la amistad. Los astrónomos griegos los incorporaron en sus horóscopos, talismanes y amuletos.
“Las personas expertas en los talismanes afirman que los números amigos 220 y 284 ejercen una fuerte influencia para establecer una unión o una amistad muy fuerte entre dos personas”
Ibn Jaldún (1332-1406), Muqaddima (prolegómenos), 1377
Cuenta una leyenda que había un sultán aficionado a los puzzles, que al descubrir que tenía a un matemático como prisionero, decidió plantearle la siguiente cuestión. El sultán le dijo al matemático que le planteara un reto, un problema, y que estaría libre durante el tiempo que él necesitara para resolverlo, pero una vez resuelto por el sultán, el matemático sería ejecutado.
El matemático le explicó que los números 220 y 284 son números amigos, y le planteó que buscara otro par de números amigos. El sultán no lo consiguió y el matemático murió de viejo y siendo un hombre libre.
De hecho, calcular más pares de números amigos no es una tarea sencilla. Muchos matemáticos árabes estudiaron los números amigos, entre los siglos IX y XIV, como el iraquí Thabit ibn Qurra (826 – 901) quien dio una fórmula para obtener números amigos. En particular, se obtuvieron dos nuevos pares de números amigos
(17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056).
En el siglo XVII los grandes matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601 – 1665) y René Descartes (1596 – 1650) redescubrieron la fórmula del matemático árabe, así como los dos anteriores pares de números amigos, que es ocasiones son atribuidos a ellos. Otro gran matemático ya mencionado, Leonhard Euler, extendió la fórmula de Qurra y obtuvo 64 nuevos pares de números amigos.
Curiosamente, a todos ellos se les pasó el siguiente par de números amigos más pequeño, después de (220, 284), el par (1.184, 1.210), descubierto por el adolescente Nicolo Paganini, de 16 años, en 1866.
La tarea siguió siendo compleja y hasta 1946 solo se consiguieron descubrir 390 pares de números amigos, hasta que llegó la era de los ordenadores, y su potencia de cálculo, que, junto a nuevos algoritmos, ha permitido calcular (según la wikipedia) hasta marzo de 2019 exactamente 1.223.386.359 parejas de números amigos. Sin embargo, a día de hoy no se sabe aún si existen infinitos pares de números amigos.
Anillos hexagonales, con oro amarillo y oro rosa, con la pareja de números amigos 220 y 284, de la tienda londinense Comford Station, y la caja con la explicación de la pareja de números amigos
Otro nexo de unión entre números. Se dice que dos números son novios o casi-amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de sus divisores menos 1, como el 48 = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 – 1 y el 75 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 – 1. Las primeras parejas de números novios son (48, 75), (140, 195), (1.050, 1.925), (1.575, 1.648), (2.024, 2.295) y (5.775, 6.128). Los números de todas las parejas de novios conocidas tienen paridad opuesta, es decir, uno es par y el otro impar.
La propiedad de amistad puede generalizarse a un grupo de números, de forma que la suma de los divisores de cada uno es igual al siguiente, y la del último igual al primero, entonces se habla de números sociables. El grupo de números más pequeños que son sociables son 12.496, 14.288, 15.472, 14.536 y 14.264. Comprobémoslo:
1) 12.496 = 24 x 11 x 71, divisores: 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 71, 88, 142, 176, 284, 568, 781, 1.136, 1.562, 3.124 y 6.248, cuya suma es 14.288;
2) 14.288 = 24 x 19 x 47, divisores: 1, 2, 4, 8, 16, 19, 38, 47, 76, 94, 152, 188, 304, 376, 752, 893, 1.786, 3.572 y 7.144, cuya suma es 15.472;
3) 15.472 = 24 x 967, divisores: 1, 2, 4, 8, 16, 967, 1.934, 3.868 y 7.736, cuya suma es 14.536;
4) 14.536 = 23 x 23 x 79, divisores: 1, 2, 4, 8, 23, 46, 79, 92, 158, 184, 316, 632, 1.817, 3.634 y 7268, cuya suma es 14.264;
5) 14.264 = 23 x 1.783, divisores: 1, 2, 4, 8, 1.783, 3.566 y 7.132, cuya suma es 12.496.
Se conocen 5.410 grupos de números sociables (véase la lista de números sociables de David Moews), la mayoría formados por 4 números, aunque existe un grupo formado por 28 números.
También existen intocables dentro de la familia de los números naturales, son aquellos que no se pueden expresar como suma de los divisores de ningún número. El número 2 es intocable, el 3 no lo es (3 = 1 + 2, divisores del 4), el 4 tampoco (4 = 1 + 3, divisores del 9) y el 5 sí, ya que solo puede expresarse como 1 + 4, pero si el 4 es divisor del número, también lo es el 2 y la suma sería al menos 7. El siguiente intocable es el 52.
El matemático húngaro Paul Erdös (1913-1996) demostró que existen infinitos números intocables.
“Dice Trece [la protagonista se refiere con números a los hombres que han pasado por su vida] que le ha hecho esos dos regalos –el libro [de Murakami] y lo del segundo cajón [un consolador]– para que se acuerde de él. Sin embargo, por la esencia oriental de uno y las dimensiones del otro, lo que Trece ha conseguido es que Pi, en lugar de acordarse de él, se acuerde de Dos. Por ambas razones.
Dos se ha convertido en una medida (de hecho, es un número intocable, pues no es la suma de los divisores de ningún número). No tiene tanta importancia como persona real en el presente […] sino como recuerdo y, sobre todo, como convención, como medida. Dos es la medida del sistema métrico sentimental”
Juan Pardo Vidal, La luz de la mesita de noche, Sloper, 2012
Por otra parte, un número se dice que es práctico si todos los números naturales más pequeños que él pueden ser expresados como suma de distintos divisores del número. Así, el número 12 es un número práctico ya que todos los números menores que él, desde el 1 al 11, pueden ser expresados como suma de algunos de los divisores de 12. Veámoslo: los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6, luego 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 5 = 1 + 4, 6 = 2 + 4, 7 = 1 + 2 + 4, 8 = 2 + 6, 9 = 3 + 6, 10 = 4 + 6 y 11 = 1 + 4 + 6.
El concepto fue definido en 1948 por el matemático indio A. K. Srinivasan, números que en su opinión eran interesantes de estudiar por su relación con las subdivisiones del dinero, los pesos y las medidas. Aunque estos números ya fueron utilizados por el matemático italiano Fibonacci (Leonardo de Pisa, 1170 – 1240), en su obra Liber Abaci (Libro del Ábaco, 1202), en relación a las fracciones egipcias (véase la entrada de Marta Macho, Sobre fracciones egipcias).
Claramente, todas las potencias de 2 son prácticas, ya que dado 2n, se puede expresar cualquier número entre 1 y 2n – 1 como suma de potencias de 2, menores que 2n, que son sus divisores. Es solamente una cuestión de divisibilidad y el fundamento del sistema binario. Se conocen muchas propiedades de los números prácticos, como que existen infinitos, el producto de dos números prácticos es un número práctico, los números perfectos pares, luego de la forma 2p–1 (2p – 1), son prácticos, o que, salvo el 1 y el 2, todos los números prácticos son divisibles por 4 o 6, entre otras.
Instalación Forest of numbers – Bosque de números (2017), de la artista francesa Emmanuelle Moureaux. Imagen de su página web
Y no podían faltar los números raros, o extraños, que son aquellos que son abundantes, es decir, la suma de los divisores es mayor que el número, pero no se puede obtener el número exacto quitando algunos de los divisores, es decir, como suma de un subconjunto de divisores propios. Por ejemplo, el 12 es abundante, pero como 12 = 2 + 4 + 6, no es raro, y el número raro más pequeño es 70 (cuyos divisores son 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35).
Aunque se sabe que existen infinitos números raros, estos son relativamente escasos, por ejemplo, solamente hay 7 números raros menores que 10.000, que son 70, 836, 4.030, 5.830, 7.192, 7.912 y 9.272. Todos los números raros conocidos son pares y si existe alguno impar deberá ser, por lo menos, mayor que 1021.
Cerramos este repaso a algunas tribus numéricas con los números poderosos, que son aquellos tales que, si un número primo p es divisor suyo, también lo es su cuadrado p2, como el 36, cuyos divisores primos son 2 y 3, y sus cuadrados también son divisores de 36. Curiosamente, un número m es poderoso si, y sólo si, se puede expresar como m = a2b3, para algún par de números a y b. Claramente, si un número es de la forma a2b3 es poderoso (ya que los cuadrados de los primos de la descomposición en primos de a y b claramente dividen a a2b3), pero, además, todos los números poderosos son de esta forma. Veámoslo:
Por ejemplo, para el número m = 21.600 = 25 x 33 x 52, tendríamos que b = 2 x 3 = 6 y a = 2 x 5 = 10.
Existen algunos problemas interesantes sobre los números poderosos. Como se observa fácilmente, todo número impar es resta de dos cuadrados, luego de dos números poderosos, 2 k + 1 = (k + 1)2 – k2. Lo mismo ocurre con los múltiplos de 4, ya que 4 k + 4 = (k + 2)2 – k2.
Pero, ¿qué pasaba con los números pares no divisibles por 4, podían expresarse como resta de números poderosos? El matemático e ingeniero estadounidense Solomon W. Golomb (1932 – 2016), conocido por sus trabajos sobre juegos matemáticos, observó que algunos sí podían expresarse, como 2 = 33 – 52, 10 = 133 – 37 o 18 = 192 – 73 = 35 – 152, y conjeturó que el número 6 no podía expresarse como resta de números poderosos, así como infinitos otros números pares. El matemático polaco Władysław Narkiewicz demostró que el 6 no solo podía representarse de esta forma, 6 = 5473 – 4632, sino que existían infinitas formas de hacerlo. Más aún, en 1982, el matemático estadounidense Wayne L McDaniel extendió el resultado para todos los números pares, no divisibles por 4.
Por otra parte, Paul Erdös conjeturó, y fue demostrado por el matemático británico Roger Heath-Brown, que todo número natural suficientemente grande puede expresarse como suma de tres números poderosos.
Instalación “SOHO” (2008), del artista japonés Tatsuo Miyajima. Imagen de su página web
Bibliografía
1.- Clifford A. Pickover, El prodigio de los números. Desafíos, paradojas y curiosidades matemáticas, Ma Non Troppo (ediciones Robinbook), 2002.
2.- Clifford A. Pickover, La maravilla de los números. Un viaje por los secretos de las matemáticas, sus desafíos y caprichos, Ma Non Troppo (ediciones Robinbook), 2002.
3.- Lamberto García del Cid, Números notables. El 0, el 666 y otras bestias numéricas, El mundo es matemático, RBA, 2010.
4.- Howard H. Eves, Mathematical Circles, The Mathematical Association of America (MAA), 2003.
Portugal / 03 de mayo de 2017 / Fuente: http://www.portugal.gov.pt/
O Ministro da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior, Manuel Heitor, afirmou que as consequências do surto de sarampo devem reforçar «o apelo à promoção da cultura científica», uma vez que «ainda há famílias que não vacinam as suas crianças».
Na cerimónia comemorativa dos 111 anos do edifício sede da faculdade de medicina da Universidade Nova de Lisboa (Nova Medical School), o Ministro disse que «passados 30 anos do primeiro programa mobilizador da ciência em Portugal e mais de 20 anos de promoção da cultura científica, ainda persistem na sociedade portuguesa a coexistência de centros de grande excelência científica com um défice de cultura científica».
Manuel Heitor referiu que o apelo à promoção da cultura científica deverá ser feito «diariamente nas escolas, nos centros de investigação, mas de uma forma geral na sociedade em todas as suas dimensões sociais, económicas e culturais».
«Não há uma sociedade mais moderna e mais aberta sem ciência, e para haver mais ciência tem de haver cultura científica porque hoje isso é parte da nossa construção social de fazermos do conhecimento o nosso desígnio de afirmação dos portugueses no mundo», acrescentou.
La Consejería de Educación del Gobierno de Cantabria ha puesto en marcha un plan para el fomento de la cultura científica, que incluye formación para el profesorado y aglutina todas las acciones que los centros venían ya realizando de forma aislada en ciencia, tecnología, medio ambiente y salud, junto con propuestas nuevas y mejoras que se irán incorporando en próximos cursos.
Según ha explicado el consejero, Ramón Ruiz, este viernes en rueda de prensa, se trata de un plan para toda la legislatura y es «pionero en el Estado», porque si bien «hay algo en el País Vasco y Andalucía», Cantabria es la primera comunidad autónoma que ha hecho un plan integrado en este ámbito que abarca desde la infancia a Bachillerato.
Las acciones de este plan están llegando ya a más de 7.000 alumnos de 120 centros públicos y concertados de la región y entre ellas figuran el plan Provoca, la liga de reciclaje y compostaje de MARE, el CSIC en la Escuela, los programas del Centro de Educación Ambiental (CEAm) de Viérnoles o del Museo Marítimo, los talleres de biomedicina del IDIVAL, la Feria de la Ciencia de la Universidad de Cantabria, etc.
«No son actividades sueltas, sino ligadas al curriculum, tienen relación con los objetivos de aprendizaje de las diferentes disciplinas», ha explicado Ruiz, que ha estado acompañado por el director general de Centros, Alonso Gutiérrez, y los responsables del plan, Pilar Barquín y José Angel Olabarría.
Con este plan, la Consejería aspira a mejorar la alfabetización científica de los alumnos y avanzar en la introducción de la cultura científica en los centros. Se busca a la vez reducir el «sesgo de género» entre los estudios de humanidades, por las que se inclinan más las mujeres, y las ciencias.
«Es una cuestión cultural, a partir de los seis años, las niñas empiezan a perder interés por la ciencia», ha explicado el consejero, quien ha explicado que por ejemplo en el informe PISA, los alumnos puntúan más alto en las pruebas científicas y matemáticas y las alumnas en lenguaje y comprensión de textos.
El plan busca también mejorar los resultados en aspectos científicos en las evaluaciones internacionales, ya que por ejemplo en el PISA, Cantabria está en la media en todas las pruebas de conceptos pero por debajo en aplicación práctica de conocimientos.
De igual forma, se pretende fomentar la incorporación de centros a los programas de escuelas ecológicas, escuelas investigadoras y escuelas promotoras de la salud.
Actuaciones
Entre otras actuaciones, la Consejería incluirá un apartado con noticias científicas en el portal Educantabria, que es «el segundo más visitado» de Cantabria. También se editarán guías de recursos en sostenibilidad y ciencias experimentales; y se organizarán acciones de divulgación en colaboración con diferentes organismos como la AEMET; así como jornadas de buenas prácticas y campus científicos en verano.
También se está trabajando con la Universidad de Cantabria para incluir la cultura científica en los grados en Educación y Máster en Secundaria.
Europa/España/3 de febrero de 2017/Fuente: 20minutos
La Fundación Zaragoza Ciudad del Conocimiento ha mostrado su compromiso con posicionar a Etopia como centro de producción de referencia local, nacional e internacional en el ámbito de la innovación digital, la cultura científica y la creatividad tecnológica.
La FZC ha presentado su programación para 2017 en Etopia Centro de Arte y Tecnología, que ha contado con la participación de la consejera municipal de Participación, Transparencia y Gobierno Abierto, Elena Giner, y de Carmen Ascaso, Diego Gutiérrez y Remedios Zafra, nuevos patronos individuales de la FZC. Asimismo, ha participado Juan Carlos Sánchez, responsable de la Obra Social de Ibercaja. El director gerente de la FZC, Mariano Salvador, ha detallado las principales actividades que la Fundación va a desarrollar en los próximos meses. Asimismo, ha resaltado el compromiso de la institución a Con este objetivo, el equipo de la FZC ha vertebrado su programación para 2017 en tres líneas temáticas: educación e innovación docente; la conexión arte-ciencia-tecnología-sociedad; y las nuevas formas y lenguajes de la cultura digital contemporánea, a partir de las cuales se desarrollarán más de 20 programas en el Centro de Arte y Tecnología.
ETOPIA KIDS Salvador ha anunciado que el bioarte será una de las principales líneas de trabajo que se desarrollarán en los próximos meses en el marco de la Red Europea de Arte Digital y Ciencia, de la que la FZC forma parte desde 2015 junto a otras importantes instituciones europeas.
De la misma manera, ha destacado la puesta en marcha de nuevos proyectos dentro de Etopia Kids, programa de aprendizaje y experimentación con tecnologías creativas de código abierto dirigidas a público infantil, juvenil y familiar. Finalmente, ha centrado su comparecencia en otros de los hitos previstos para este año, como la colaboración con otros centros y espacios de la ciudad, la alianza con la Universidad de Zaragoza para la puesta en marcha de un programa formativo en el campo de las tecnologías cognitivas o el papel del programa de Mediación Cultural que la FZC va a desarrollar en Etopia Centro de Arte y Tecnología. Por su parte, la consejera municipal de Participación, Transparencia y Gobierno Abierto, Elena Giner, ha destacado el importante papel de la FZC como agente programador de Etopia Centro de Arte y Tecnología, dotando a este equipamiento municipal de contenidos innovadores y de gran calidad centrados en sus líneas de actuación. En esta misma línea, Giner ha calificado de «muy positiva» la concentración de esfuerzos que se está realizando por parte de los equipos del Servicio de Ciudad Inteligente del Ayuntamiento de Zaragoza y de la FZC en el desarrollo de un proyecto común para Etopia.
NUEVOS PATRONOS INDIVIDUALES Junto a este adelanto de la programación y las líneas estratégicas, Giner y Salvador han presentado a los tres nuevos patronos individuales que se han incorporado al organigrama de la FZC: la doctora en Ciencias Biológicas de la Universidad Complutense Carmen Ascaso; el doctor en ingeniería informática en la Universidad de Zaragoza y catedrático Diego Gutiérrez; y la escritora, profesora y teórica Remedios Zafra. Todos ellos, junto a la doctora en Ciencias Económicas Aurelia Modrego -que continúa siendo miembro del patronato desde la creación de la FZC- configuran un equipo asesor de gran valor para esta institución a la hora de velar y ahondar en el cumplimiento de sus fines fundacionales, ha informado el Ayuntamiento de Zaragoza en una nota de prensa.
México. IBERCIENCIA. Comunidad de Educadores para la Cultura Científica
Reciban un cordial saludo. A continuación una breve información personal: Soy originario de la hermosa Provincia de Imbabura en Ecuador. Mis estudios de Posgrado los realice en Michoacán/México/, lugar donde actualmente radico. Entre las principales actividades que realizó son: Profesor Investigador en ITESM, soy Consultor en actividades Jurídicas y Empresariales, realizó apoyo a la comunidad (Labor social) en un Centro Comunitario de Aprendizaje de la localidad.
Cómo conoció la Comunidad de Educadores para la Cultura Científica y ¿qué le ha reportado?
La Comunidad de Educadores para la Cultura Científica, la descubrí en el año del 2009 cuando realizaba investigación comparada sobre el Sistema Educativo en México y el mundo, en aquel entonces ya me interesó principalmente por sus materiales como también por la idea de interactuar con académicos de otras regiones a través de sus foros.
Desde su inicio la Comunidad viene proponiendo materiales para su uso en el aula. Para Ud. ¿Cuál es la mejor virtud de esos materiales y en qué contextos los ha usado?
El solo hecho de la existencia de estos materiales ya es una gran ayuda, si bien es cierto la tecnología abre una gran puerta al acceso y difusión del conocimiento, no toda esta información es confiable, es por ello que los que buscamos información golpeamos las puertas de las Instituciones confiables.
La enorme virtud de estos materiales es la “confiabilidad”, ya que tiene el respaldo y vigilancia de una Institución, otra virtud, es la “practicidad”, el contenido es bastante entendible y práctico ad hoc a las actividades académicas de los estudiantes, los cuales son los principales beneficiados.
Los materiales que ponen a nuestra disposición la Comunidad de Educadores han servido para que fortalezcan y complementen la enseñanza en los Centros Educativos que he tenido la oportunidad de impartir clases.
De todos los materiales que ha podido ver díganos el que más le ha gustado y las razones.
Sin lugar a dudas todos los materiales son muy interesantes, particularmente los que se encuentran en el Contenedor titulado “La Sociedad Digital”, de donde he extraído materia prima para diseñar mis clases.
A pesar de mi gusto por el Contenedor antes citado, el tema titulado “Comer mal es peor que fumar” me fue muy útil y provechoso ya que todos aquellos que intervenimos en las diferentes actividades propuestas en el material relacionado con este tema, consideramos que fue muy enriquecedor, ya que motivo el debate y la participación grupal, a la vez que sirvió como una herramienta para la adquisición de nuevo conocimiento.
Además de ello, me permitió identificar dos variables la “ignorancia” y “factores culturales” que juegan un rol importante en una buena o mala alimentación de los pueblos y que sirvieron de base para los siguientes supuestos:
Un pueblo “ignorante” sobre la información relacionada con una buena o mala alimentación, es un pueblo con grades posibilidades de obesidad. Ejemplo. El desconocimiento de lo perjudicial de comer ciertos alimentos con mucha grasa, o el desconocimiento de los beneficios del ejercicio, o de comer en la noche antes de dormir, etc.
Un pueblo con “factores culturales” que predispongan a una mala alimentación, es un pueblo con grades posibilidades de obesidad. Por ejemplo comer grandes cantidades en la tarde por que es la hora que se reúne la familia, o comer en la calle todas las noches, reuniones de amigos, etc.
Pero, un pueblo donde se unan las dos variables: “ignorancia” y “factores culturales”, es un pueblo obeso, sin grades posibilidades de recuperación a menos que se adopten verdaderas políticas públicas que ayuden a tener una mejor cultura alimenticia o mayor información.
Y de los que ha usado en el aula cuál es el que más le ha gustado a sus alumnos y nos podría decir cuántos alumnos han podido usar estos materiales en estos años a través suyo.
De todos los materiales utilizados en el aula de clase, me parece que no ha existido un solo material de preferencia para el alumnado, ya que todos han servido como herramientas complementarias a otros materiales (videos, bibliografía, etc.). Los alumnos ponen especial atención a temas de actualidad y que rompen paradigmas.
El número de alumnos que han podido usar los materiales de la Comunidad de Educadores corresponde a: un promedio de 12 alumnos por aula; 5 años por 2 semestres = 10 semestres x 12 alumnos = un mínimo de 120 alumnos, sin contar los alumnos que asisten al Centro Comunitario de Aprendizaje, que corresponde a un número irregular de alumnos, mas o menos 100.
Otra característica de la Comunidad es difundir algunos de los trabajos a través de su portal de divulgación. Dígame de esas producciones la que más le ha gustado y lo que opina de esta proyección exterior.
No soy asiduo lector de los materiales que se exponen en el portal de divulgación (por limitaciones de tiempo), me dejo llevar a lo que ustedes recomiendan cuando entregamos nuestras aportaciones (…), “Poner un título atractivo”. Cuando detecto un material con un título a fin a mis intereses lo abro y continuo leyendo. Me interesan temas que tienen soportes estadísticos o informes de investigaciones.
Queremos que nos diga lo que pediría a IBERCIENCIA como propuesta de nuevas acciones que a su juicio sería de mucho impacto.
A pesar de los beneficios que tenemos quienes pertenecemos a la Comunidad de Educadores (materiales y propuestas de cursos, etc.) a veces pienso que nos están utilizando, ¿Cómo? (…) Es lógico suponer que este –Proyecto- necesita de recursos económicos para su funcionamiento y también es lógico suponer que tiene que reportar resultados, nosotros los educadores llegamos a ser solo números dentro de las estadísticas ya que no tenemos mayores beneficios que lo antes mencionado (materiales, etc.) pero no se nos considera o convoca para involucrarnos en proyectos internacionales (de acuerdo a nuestro perfil) o certificaciones académicas avaladas por instituciones educativas, por ejemplo a los que tenemos ya cinco años en la Comunidad.
Propuestas hay muchas, quien las tome y nos involucre….????
Una de las cuestiones por las que la OEI lanzó esta comunidad es la de fomentar las vocaciones de los jóvenes hacia la ciencia ¿Conoce algún caso que haya sido así?
Dado mis actividades académicas en instituciones privadas y públicas, me he podido percatar lo siguiente:
En las instituciones educativas privadas existe mayor vocación de los jóvenes hacia la ciencia, esto, motivado por sus familiares y su entorno. Los estudiantes con la finalidad de trabajar en lo que trabajan sus padres (Ingenieros, Arquitectos, Doctores, etc.) siguen carreras o se motivan mas hacia las ciencias.
Por otro lado, en las instituciones educativas públicas, existe menor inclinación por parte de los jóvenes hacia la ciencia, ya que su única motivación es terminar con la etapa educativa para inmediatamente ponerse a trabajar.
OtrasVocesenEducacion.org existe gracias al esfuerzo voluntario e independiente de un pequeño grupo de docentes que decidimos soñar con un espacio abierto de intercambio y debate.
¡Ayúdanos a mantener abiertas las puertas de esta aula!
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